ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = 1, x — y = 1\);
2) \(\frac{1}{y + 1} — \frac{1}{x — 1} = \frac{1}{x + 2}, \frac{1}{y — 1} = \frac{1}{3}\);
3) \(\frac{3x + y}{x — y} = 2, \frac{2y}{x — y} = 2\).

Решить систему уравнений:

1)
\(
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\
x — y = 1
\end{array}
\right.
\)

Второе уравнение: \(y = x — 1\);

Первое уравнение:
\(
\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{3}{2} \quad | \cdot 2x(x-1);
\)
\(2(x-1) + 2x = 3x(x-1);\)
\(2x — 2 + 2x = 3x^2 — 3x;\)
\(3x^2 — 7x + 2 = 0;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25\), тогда:
\(
x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\)
и
\(
x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;
\)
\(y_1 = \frac{1}{3} — 1 = -\frac{2}{3}\)
и
\(y_2 = 2 — 1 = 1;\)

Ответ: \(\left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}\right); (2; 1).\)

2)
\(
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{y+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2} \\
\frac{4}{x+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3}
\end{array}
\right.
\)

Первое уравнение:
\(2(y+1) = x-1;\)
\(2y + 2 = x — 1;\)
\(x = 2y + 3;\)

Второе уравнение:
\(
\frac{4}{2y+3+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3};
\)
\(
\frac{4}{2y+5} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 3(y-1)(2y+5);
\)
\(12(y-1) + 3(2y+5) = (y-1)(2y+5);\)
\(12y — 12 + 6y + 15 = 2y^2 + 5y — 2y — 5;\)
\(2y^2 — 15y — 8 = 0;\)
\(D = 15^2 + 4 \cdot 2 \cdot 8 = 225 + 64 = 289\), тогда:
\(
y_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\)
и
\(
y_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8;
\)
\(x_1 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 = 2 — 1 + 3 = 2\)
и
\(x_2 = 2 \cdot 8 + 3 = 19;\)

Ответ: \((2; -\frac{1}{2}); (19; 8).\)

3)
\(
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{4}{x-1} — \frac{5}{y+1} = 1 \\
\frac{4}{x+5} = \frac{2}{y}
\end{array}
\right.
\)

Второе уравнение:
\(4y = 2(x+5);\)
\(2y = x+5;\)
\(x = 2y-5;\)

Первое уравнение:
\(
\frac{4}{2y-5-1} — \frac{5}{y+1} = 1;
\)
\(
\frac{4}{2y-6} — \frac{5}{y+1} = 1;
\)
\(
\frac{2}{y-3} — \frac{5}{y+1} = 1 \quad | \cdot (y+1)(y-3);
\)
\(2(y+1) — 5(y-3) = (y+1)(y-3);\)
\(2y + 2 — 5y + 15 = y^2 — 3y + y — 3;\)
\(y^2 + y — 20 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81\), тогда:
\(
y_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5
\)
и
\(
y_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\)
\(x_1 = 2 \cdot (-5) — 5 = -15\)
и
\(x_2 = 2 \cdot 4 — 5 = 3;\)

Ответ: \((-15; -5); (3; 4).\)

Рассмотрим решение первого пункта задачи. Дана система:
\(
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}
\)
и
\(
x — y = 1
\).
Сначала выразим одну переменную через другую из второго уравнения:
\(
y = x — 1
\).
Подставим это выражение во второе уравнение системы, чтобы получить уравнение только относительно \(x\):
\(
\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{3}{2}
\).
Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{(x-1) + x}{x(x-1)} = \frac{3}{2}
\),
то есть
\(
\frac{2x-1}{x(x-1)} = \frac{3}{2}
\).
Умножим обе части на \(2x(x-1)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\(
2(2x-1) = 3x(x-1)
\).
Раскроем скобки:
\(
4x — 2 = 3x^2 — 3x
\).
Перенесём всё в одну сторону:
\(
3x^2 — 7x + 2 = 0
\).
Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25
\).
Корни:
\(
x_1 = \frac{7 — 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\),
\(
x_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2
\).
Восстановим значения \(y\):
при \(x_1 = \frac{1}{3}\),
\(y_1 = x_1 — 1 = \frac{1}{3} — 1 = -\frac{2}{3}\);
при \(x_2 = 2\),
\(y_2 = x_2 — 1 = 2 — 1 = 1\).
Ответ:
\(
\left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}\right)
\),
\(
(2; 1)
\).

Рассмотрим второй пункт.
Дана система:
\(
\frac{1}{y+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2}
\)
и
\(
\frac{4}{x+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3}
\).
Из первого уравнения выразим \(x\):
\(
2(y+1) = x-1
\),
\(
x = 2y + 3
\).
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(
\frac{4}{2y+3+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3}
\),
то есть
\(
\frac{4}{2y+5} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3}
\).
Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{4(y-1) + (2y+5)}{(2y+5)(y-1)} = \frac{1}{3}
\).
Умножим обе части на \(3(2y+5)(y-1)\):
\(
12(y-1) + 3(2y+5) = (2y+5)(y-1)
\).
Раскроем скобки:
\(
12y — 12 + 6y + 15 = 2y^2 + 5y — 2y — 5
\),
\(
18y + 3 = 2y^2 + 3y — 5
\).
Перенесём всё в одну сторону:
\(
2y^2 — 15y — 8 = 0
\).
Дискриминант:
\(
D = (-15)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289
\).
Корни:
\(
y_1 = \frac{15 — 17}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\),
\(
y_2 = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8
\).
Восстановим значения \(x\):
при \(y_1 = -\frac{1}{2}\),
\(x_1 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 = -1 + 3 = 2\);
при \(y_2 = 8\),
\(x_2 = 2 \cdot 8 + 3 = 16 + 3 = 19\).
Ответ:
\(
(2; -\frac{1}{2})
\),
\(
(19; 8)
\).

Рассмотрим третий пункт.
Дана система:
\(
\frac{4}{x-1} — \frac{5}{y+1} = 1
\)
и
\(
\frac{4}{x+5} = \frac{2}{y}
\).
Из второго уравнения выразим \(x\):
\(
4y = 2(x+5)
\),
\(
2y = x + 5
\),
\(
x = 2y — 5
\).
Подставим это выражение в первое уравнение:
\(
\frac{4}{2y-5-1} — \frac{5}{y+1} = 1
\),
\(
\frac{4}{2y-6} — \frac{5}{y+1} = 1
\),
\(
\frac{2}{y-3} — \frac{5}{y+1} = 1
\).
Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{2(y+1) — 5(y-3)}{(y-3)(y+1)} = 1
\).
Раскроем скобки в числителе:
\(2y + 2 — 5y + 15 = -3y + 17\),
итого:
\(
\frac{-3y + 17}{(y-3)(y+1)} = 1
\).
Переносим всё в одну сторону:
\(
-3y + 17 = (y-3)(y+1)
\),
раскрываем скобки:
\(
-3y + 17 = y^2 — 3y + y — 3
\),
\(
-3y + 17 = y^2 — 2y — 3
\).
Переносим всё в одну сторону:
\(
y^2 + y — 20 = 0
\).
Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
\).
Корни:
\(
y_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5
\),
\(
y_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4
\).
Восстановим значения \(x\):
при \(y_1 = -5\),
\(x_1 = 2 \cdot (-5) — 5 = -10 — 5 = -15\);
при \(y_2 = 4\),
\(x_2 = 2 \cdot 4 — 5 = 8 — 5 = 3\).
Ответ:
\(
(-15; -5)
\),
\(
(3; 4)
\).