ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x + y^2 = 2, 2y^2 + x^2 = 3\);
2) \(x + y^3 = 2, 2x + x^2 + 5y^3 = 8\);
3) \(x^3 + y = 1, y^3 + x^6 = (2y — 1)^2\).

1)
\(
\begin{cases}
x + y^2 = 2 \\
2y^2 + x^2 = 3
\end{cases}
\)
Первое уравнение: \(y^2 = 2 — x;\) \(y = \pm\sqrt{2 — x};\)
Второе уравнение: \(2(2 — x) + x^2 = 3;\) \(4 — 2x + x^2 — 3 = 0;\) \(x^2 — 2x + 1 = 0;\) \((x — 1)^2 = 0;\) \(x = 1;\) \(y = \pm\sqrt{2 — 1} = \pm 1;\)
Ответ: \((1; -1); (1; 1).\)

2)
\(
\begin{cases}
x + y^2 = 3 \\
x^4 + y^4 + 6x = 29
\end{cases}
\)
Первое уравнение: \(y^2 = 3 — x;\) \(y = \pm\sqrt{3 — x};\)
Второе уравнение: \(x^4 + (3 — x)^2 + 6x = 29;\) \(x^4 + 9 — 6x + x^2 + 6x = 29;\) \(x^4 + x^2 — 20 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,\) тогда:
\(x_1^2 = \frac{-1 — 9}{2} = -5\) и \(x_2^2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;\)
\(x = \pm\sqrt{4} = \pm 2;\)
\(y_1 = \pm\sqrt{3 + 2} = \pm\sqrt{5}\) и \(y_2 = \pm\sqrt{3 — 2} = \pm 1;\)
Ответ: \((-2; -\sqrt{5}); (-2; \sqrt{5}); (2; -1); (2; 1).\)

3)
\(
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 2 \\
x^3 — x y^2 + x^2 = 3
\end{cases}
\)
Первое уравнение: \(y^2 = x^2 — 2;\) \(y = \pm\sqrt{x^2 — 2};\)
Второе уравнение: \(x^3 — x(x^2 — 2) + x^2 = 3;\) \(x^3 — x^3 + 2x + x^2 = 3;\) \(x^2 + 2x — 3 = 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;\)
\(y_1 = \pm\sqrt{(-3)^2 — 2} = \pm\sqrt{9 — 2} = \pm\sqrt{7};\)
\(y_2 = \pm\sqrt{1^2 — 2} = \pm\sqrt{1 — 2} = \pm\sqrt{-1};\)
Ответ: \((-3; -\sqrt{7}); (-3; \sqrt{7}).\)

1)

Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
x + y^{2} = 2 \\
2y^{2} + x^{2} = 3
\end{cases}
\)

Первое уравнение: \(x + y^{2} = 2\). Выразим \(y^{2}\):
\(y^{2} = 2 — x\).
Отсюда:
\(y = \pm\sqrt{2 — x}\).

Подставим \(y^{2}\) во второе уравнение:
\(2y^{2} + x^{2} = 3\)
\(2(2 — x) + x^{2} = 3\)
\(4 — 2x + x^{2} = 3\)
\(x^{2} — 2x + 1 = 0\)
\((x — 1)^{2} = 0\)
\(x = 1\)

Найдем \(y\):
\(y^{2} = 2 — 1 = 1\)
\(y = \pm 1\)

Ответ: \((1; -1); (1; 1)\)

2)

Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
x + y^{2} = 3 \\
x^{4} + y^{4} + 6x = 29
\end{cases}
\)

Первое уравнение: \(x + y^{2} = 3\). Выразим \(y^{2}\):
\(y^{2} = 3 — x\)
\(y = \pm\sqrt{3 — x}\)

Подставим \(y^{2}\) во второе уравнение:
\(x^{4} + (y^{2})^{2} + 6x = 29\)
\(x^{4} + (3 — x)^{2} + 6x = 29\)
\(x^{4} + 9 — 6x + x^{2} + 6x = 29\)
\(x^{4} + x^{2} + 9 = 29\)
\(x^{4} + x^{2} — 20 = 0\)

Обозначим \(z = x^{2}\), тогда:
\(z^{2} + z — 20 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 1^{2} + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81\)

\(z_{1} = \frac{-1 — 9}{2} = -5\)
\(z_{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4\)

Поскольку \(x^{2} = -5\) не подходит, берем \(x^{2} = 4\):
\(x = 2\) и \(x = -2\)

Если \(x = 2\):
\(y^{2} = 3 — 2 = 1\)
\(y = \pm 1\)

Если \(x = -2\):
\(y^{2} = 3 — (-2) = 5\)
\(y = \pm\sqrt{5}\)

Ответ: \((-2; -\sqrt{5}); (-2; \sqrt{5}); (2; -1); (2; 1)\)

3)

Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
x^{2} — y^{2} = 2 \\
x^{3} — x y^{2} + x^{2} = 3
\end{cases}
\)

Первое уравнение: \(x^{2} — y^{2} = 2\). Выразим \(y^{2}\):
\(y^{2} = x^{2} — 2\)
\(y = \pm\sqrt{x^{2} — 2}\)

Подставим \(y^{2}\) во второе уравнение:
\(x^{3} — x y^{2} + x^{2} = 3\)
\(x^{3} — x(x^{2} — 2) + x^{2} = 3\)
\(x^{3} — x^{3} + 2x + x^{2} = 3\)
\(x^{2} + 2x = 3\)
\(x^{2} + 2x — 3 = 0\)

Дискриминант:
\(D = 2^{2} + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\)

\(x_{1} = \frac{-2 — 4}{2} = -3\)
\(x_{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\)

Для \(x = -3\):
\(y^{2} = (-3)^{2} — 2 = 9 — 2 = 7\)
\(y = \pm\sqrt{7}\)

Для \(x = 1\):
\(y^{2} = 1^{2} — 2 = 1 — 2 = -1\)
\(y = \pm\sqrt{-1}\)

Ответ: \((-3; -\sqrt{7}); (-3; \sqrt{7})\)