ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

12.6. Решите систему уравнений:
1)
\(
\begin{cases}
x + y^{3} = 2, \\
2x + x^{2} + 5y^{3} = 8;
\end{cases}
\)
2)
\(
\begin{cases}
x^{3} + y = 1, \\
y^{3} + x^{6} = (2y — 1)^{2};
\end{cases}
\)
3)
\(
\begin{cases}
x^{2} + y^{2} = 5, \\
y^{3} + x^{2}y + y^{2} = 6.
\end{cases}
\)

1)
\(y^{3} = 2 — x\), \(y = \sqrt[3]{2 — x}\).
\(2x + x^{2} + 5(2 — x) = 8\), получаем \(x^{2} — 3x + 2 = 0\).
\(x_{1} = 1\), \(x_{2} = 2\).
\(y_{1} = 1\), \(y_{2} = 0\).
\((1; 1)\), \((2; 0)\).

2)
\(x^{3} = 1 — y\), \(x = \sqrt[3]{1 — y}\).
\(y^{3} + (1 — y)^{2} = (2y — 1)^{2}\), то есть \(y(y^{2} — 3y + 2) = 0\).
\(y_{1} = 0\), \(y_{2} = 1\), \(y_{3} = 2\).
\(x_{1} = 1\), \(x_{2} = 0\), \(x_{3} = -1\).
\((1; 0)\), \((0; 1)\), \((-1; 2)\).

3)
\(x^{2} = 5 — y^{2}\), \(x = \pm \sqrt{5 — y^{2}}\).
\(y^{2} + 5y — 6 = 0\), \(y_{1} = -6\), \(y_{2} = 1\).
\(x_{1}\) не существует (отрицательный подкоренной), \(x_{2} = \pm 2\).
\((-2; 1)\), \((2; 1)\).

1)
Рассмотрим первую систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x + y^{3} = 2 \\
2x + x^{2} + 5y^{3} = 8
\end{cases}
\)
Для начала выразим \(y^{3}\) из первого уравнения:
\(y^{3} = 2 — x\).
Теперь найдём \(y\):
\(y = \sqrt[3]{2 — x}\).
Подставим выражение для \(y^{3}\) во второе уравнение:
\(2x + x^{2} + 5y^{3} = 8\), то есть
\(2x + x^{2} + 5(2 — x) = 8\).
Раскроем скобки и приведём подобные:
\(2x + x^{2} + 10 — 5x = 8\).
\(x^{2} — 3x + 10 — 8 = 0\).
\(x^{2} — 3x + 2 = 0\).
Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант:
\(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Корни:
\(x_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1\),
\(x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\).
Теперь найдём соответствующие значения \(y\):
Для \(x_{1} = 1:\)
\(y_{1} = \sqrt[3]{2 — 1} = \sqrt[3]{1} = 1\).
Для \(x_{2} = 2:\)
\(y_{2} = \sqrt[3]{2 — 2} = \sqrt[3]{0} = 0\).
Ответ:
\((1; 1)\), \((2; 0)\).

2)
Рассмотрим вторую систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^{3} + y = 1 \\
y^{3} + x^{6} = (2y — 1)^{2}
\end{cases}
\)
Из первого уравнения выразим \(x^{3}\):
\(x^{3} = 1 — y\),
откуда
\(x = \sqrt[3]{1 — y}\).
Подставим в второе уравнение:
\(y^{3} + (1 — y)^{2} = (2y — 1)^{2}\).
Раскроем скобки:
\(y^{3} + 1 — 2y + y^{2} = 4y^{2} — 4y + 1\).
Перенесём всё в одну сторону и приведём подобные:
\(y^{3} + y^{2} — 2y + 1 — 4y^{2} + 4y — 1 = 0\).
\(y^{3} — 3y^{2} + 2y = 0\).
Вынесем \(y\) за скобку:
\(y(y^{2} — 3y + 2) = 0\).
Решим квадратное уравнение \(y^{2} — 3y + 2 = 0\):
Дискриминант:
\(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Корни:
\(y_{2} = \frac{3 — 1}{2} = 1\),
\(y_{3} = \frac{3 + 1}{2} = 2\).
И ещё есть корень \(y_{1} = 0\).
Теперь найдём соответствующие значения \(x\):
Для \(y_{1} = 0:\)
\(x_{1} = \sqrt[3]{1 — 0} = 1\).
Для \(y_{2} = 1:\)
\(x_{2} = \sqrt[3]{1 — 1} = 0\).
Для \(y_{3} = 2:\)
\(x_{3} = \sqrt[3]{1 — 2} = \sqrt[3]{-1} = -1\).
Ответ:
\((1; 0)\), \((0; 1)\), \((-1; 2)\).

3)
Рассмотрим третью систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^{2} + y^{2} = 5 \\
y^{3} + x^{2}y + y^{2} = 6
\end{cases}
\)
Из первого уравнения выразим \(x^{2}\):
\(x^{2} = 5 — y^{2}\).
Тогда
\(x = \pm \sqrt{5 — y^{2}}\).
Подставим в второе уравнение:
\(y^{3} + (5 — y^{2})y + y^{2} = 6\).
Раскроем скобки:
\(y^{3} + 5y — y^{3} + y^{2} = 6\).
\(5y + y^{2} = 6\),
или
\(y^{2} + 5y — 6 = 0\).
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\(D = 5^{2} + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49\).
Корни:
\(y_{1} = \frac{-5 — 7}{2} = -6\),
\(y_{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1\).
Теперь найдём значения \(x\):
Для \(y_{1} = -6:\)
\(x_{1} = \pm \sqrt{5 — (-6)^{2}} = \pm \sqrt{5 — 36} = \pm \sqrt{-31}\),
что не даёт вественных решений.
Для \(y_{2} = 1:\)
\(x_{2} = \pm \sqrt{5 — 1^{2}} = \pm \sqrt{4} = \pm 2\).
Ответ:
\((-2; 1)\), \((2; 1)\).