ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(
\begin{cases}
(x — 2)(y + 2) = 0, \\
x^{2} + 2y^{2} — 3x = 5;
\end{cases}
\)
2)
\(
\begin{cases}
4x^{2} + y^{2} — 2xy = 7, \\
(2x — y)y = y;
\end{cases}
\)
3)
\(
\begin{cases}
(x + 4)(y — 1) = x^{2} + 5x + 4, \\
x^{2} — y^{2} — 3x + 8 = 0;
\end{cases}
\)
4)
\(
\begin{cases}
x^{2} + y^{2} + 2x + 2y = 23, \\
x^{2} + y^{2} + 2xy = 9.
\end{cases}
\)

1)
Из первого уравнения:
\((x-2)(y+2)=0\)
\(x=2\) или \(y=-2\)

Если \(x=2\):
\(2^2+2y^2-3\cdot2=5\)
\(4+2y^2-6=5\)
\(2y^2=7\)
\(y^2=\frac{7}{2}\)
\(y=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\)

Если \(y=-2\):
\(x^2+2\cdot(-2)^2-3x=5\)
\(x^2+8-3x=5\)
\(x^2-3x+3=0\)
Дискриминант отрицательный, решений нет: \(x\in\emptyset\)

Ответ:
\((2;-\sqrt{\frac{7}{2}})\), \((2;\sqrt{\frac{7}{2}})\)

2)
Из второго уравнения:
\((2x-y)y=y\)
\(2x-y=1\) или \(y=0\)

Если \(y=2x-1\):
\(4x^2+(2x-1)^2-2x(2x-1)=7\)
\(4x^2+4x^2-4x+1-4x^2+2x=7\)
\(4x^2-2x-6=0\)
\(2x^2-x-3=0\)
\(x_1=-1\), \(x_2=\frac{3}{2}\)
\(y_1=2\cdot(-1)-1=-3\), \(y_2=2\cdot\frac{3}{2}-1=2\)

Если \(y=0\):
\(4x^2=7\)
\(x=\pm\sqrt{\frac{7}{4}}\)

Ответ:
\((-1;-3)\), \((\frac{3}{2};2)\), \((-\sqrt{\frac{7}{4}};0)\), \((\sqrt{\frac{7}{4}};0)\)

3)
Из первого уравнения:
\((x+4)(y-1)=(x+4)(x+1)\)
\(x+4=0\) или \(y-1=x+1\)
\(x=-4\), \(y=x+2\)

Если \(x=-4\):
\((-4)^2-y^2-3\cdot(-4)+8=0\)
\(16-y^2+12+8=0\)
\(y^2=36\)
\(y=\pm6\)

Если \(y=x+2\):
\(x^2-(x+2)^2-3x+8=0\)
\(x^2-x^2-4x-4-3x+8=0\)
\(7x=4\)
\(x=\frac{4}{7}\), \(y=\frac{18}{7}\)

Ответ:
\((-4;-6)\), \((-4;6)\), \((\frac{4}{7};\frac{18}{7})\)

4)
Из второго уравнения:
\((x+y)^2=9\)
\(x+y=-3\) или \(x+y=3\)
\(y=-x-3\) или \(y=3-x\)

Если \(y=-x-3\):
\((x+1)^2+(-x-3+1)^2=25\)
\((x+1)^2+(x+2)^2=25\)
\(x^2+2x+1+x^2+4x+4=25\)
\(2x^2+6x-20=0\)
\(x^2+3x-10=0\)
\(x_1=-5\), \(x_2=2\)
\(y_1=2\), \(y_2=-5\)

Если \(y=3-x\):
\((x+1)^2+(3-x+1)^2=25\)
\((x+1)^2+(4-x)^2=25\)
\(x^2+2x+1+16-8x+x^2=25\)
\(2x^2-6x-8=0\)
\(x^2-3x-4=0\)
\(x_1=-1\), \(x_2=4\)
\(y_1=4\), \(y_2=-1\)

Ответ:
\((-5;2)\), \((2;-5)\), \((-1;4)\), \((4;-1)\)

1) \(\begin{cases}(x-2)(y+2)=0\\x^2+2y^2-3x=5\end{cases}\)

Из первого уравнения:
\((x-2)(y+2)=0\);
\(x=2\), \(y=-2\);

Первое значение:
\(2^2+2y^2-3\cdot2=5\);
\(4+2y^2-6=5\);
\(2y^2=7\);
\(y^2=\frac{7}{2}\);
\(y=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\);

Второе значение:
\(x^2+2\cdot(-2)^2-3x=5\);
\(x^2+8-3x=5\);
\(x^2-3x+3=0\);
\(D=3^2-4\cdot3=9-12=-3\);
\(D<0\), значит \(x\in\emptyset\);

Ответ: \((2;-\sqrt{\frac{7}{2}})\); \((2;\sqrt{\frac{7}{2}})\).

2) \(\begin{cases}4x^2+y^2-2xy=7\\(2x-y)y=y\end{cases}\)

Из второго уравнения:
\((2x-y)y=y\);
\(2x-y=1\), \(y=0\);
\(y=2x-1\), \(y=0\);

Первое значение:
\(4x^2+(2x-1)^2-2x(2x-1)=7\);
\(4x^2+4x^2-4x+1-4x^2+2x=7\);
\(4x^2-2x-6=0\)\(|:2\);
\(2x^2-x-3=0\);
\(D=1^2+4\cdot2\cdot3=1+24=25\), тогда:
\(x_1=\frac{1-5}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1\) и \(x_2=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\);
\(y_1=2\cdot(-1)-1=-3\) и \(y_2=2\cdot\frac{3}{2}-1=3-1=2\);

Второе значение:
\(4x^2+0^2-2x\cdot0=7\);
\(4x^2=7\);
\(x^2=\frac{7}{4}\);
\(x=\pm\sqrt{\frac{7}{4}}\);

Ответ: \((-1;-3)\); \((\frac{3}{2};2)\); \((-\sqrt{\frac{7}{4}};0)\); \((\sqrt{\frac{7}{4}};0)\).

3) \(\begin{cases}(x+4)(y-1)=x^2+5x+4\\x^2-y^2-3x+8=0\end{cases}\)

Из первого уравнения:
\((x+4)(y-1)=(x+4)(x+1)\);
\(x+4=0\), \(y-1=x+1\);
\(x=-4\), \(y=x+2\);

Первое значение:
\((-4)^2-y^2-3\cdot(-4)+8=0\);
\(16-y^2+12+8=0\);
\(y^2=36\);
\(y=\pm6\);

Второе значение:
\(x^2-(x+2)^2-3x+8=0\);
\(x^2-x^2-4x-4-3x+8=0\);
\(7x=4\);
\(x=\frac{4}{7}\);
\(y=\frac{4}{7}+2=\frac{18}{7}\);

Ответ: \((-4;-6)\); \((-4;6)\); \left(\frac{4}{7};\frac{18}{7}\right).

4) \(\begin{cases}x^2+y^2+2x+2y=23\\x^2+y^2+2xy=9\end{cases}\)

Из второго уравнения:
\((x+y)^2=9\);
\(x+y=-3\), \(x+y=3\);
\(y=-x-3\), \(y=3-x\);

Из первого уравнения:
\(x^2+2x+1+y^2+2y+1=25\);
\((x+1)^2+(y+1)^2=25\);

Первое значение:
\((x+1)^2+(-x-3+1)^2=25\);
\((x+1)^2+(x+2)^2=25\);
\(x^2+2x+1+x^2+4x+4=25\);
\(2x^2+6x-20=0\)\(|:2\);
\(x^2+3x-10=0\);
\(D=3^2+4\cdot10=9+40=49\), тогда:
\(x_1=\frac{-3-7}{2}=-5\) и \(x_2=\frac{-3+7}{2}=2\);
\(y_1=5-3=2\) и \(y_2=-2-3=-5\);

Второе значение:
\((x+1)^2+(3-x+1)^2=25\);
\((x+1)^2+(4-x)^2=25\);
\(x^2+2x+1+16-8x+x^2=25\);
\(2x^2-6x-8=0\)\(|:2\);
\(x^2-3x-4=0\);
\(D=-3^2+4\cdot4=9+16=25\), тогда:
\(x_1=\frac{3-5}{2}=-1\) и \(x_2=\frac{3+5}{2}=4\);
\(y_1=3+1=4\) и \(y_2=3-4=-1\);

Ответ: \((-5;2)\); \((2;-5)\); \((-1;4)\); \((4;-1)\).