ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(2x^2 — 3xy + 5y = 5, (x — 2)(y — 1) = 0\);
2) \((x — 1)y = 2x — 2, x^2 + y^2 + 3xy = 4\);
3) \(2x^2 — xy — 3y = 7, 2x^2 + x — 3 = (x — 1)(y + 5)\);
4) \(x^2 — 2xy + y^2 = 9, 4x^2 + xy + 4y^2 = 18\).

1) \((x-2)(y-1)=0\).
Если \(x=2\), то \(2\cdot4-3\cdot2y+5y=5\Rightarrow8-6y+5y=5\Rightarrow -y=-3\Rightarrow y=3\).
Если \(y=1\), то \(2x^2-3x+5=5\Rightarrow2x^2-3x=0\Rightarrow x(2x-3)=0\Rightarrow x=0\) или \(x=\frac{3}{2}\).
Ответ: \((2,3),(0,1),\left(\frac{3}{2},1\right)\).

2) \((x-1)y=2x-2\Rightarrow (x-1)(y-2)=0\).
Если \(x=1\), то \(1+y^2+3y=4\Rightarrow y^2+3y-3=0\Rightarrow y=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\).
Если \(y=2\), то \(x^2+4+6x=4\Rightarrow x^2+6x=0\Rightarrow x(x+6)=0\Rightarrow x=0\) или \(x=-6\).
Ответ: \(\left(1,\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\right),\left(1,\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\right),(0,2),(-6,2)\).

3) Из второго: \(2x^2+x-3=(x-1)(y+5)\Rightarrow(x-1)(2x+3)=(x-1)(y+5)\Rightarrow x=1\) или \(y=2x-2\).
Если \(x=1\), то \(2- y-3y=7\Rightarrow -4y=5\Rightarrow y=-\frac{5}{4}\).
Если \(y=2x-2\), то \(2x^2-x(2x-2)-3(2x-2)=7\Rightarrow2x^2-2x^2+2x-6x+6=7\Rightarrow -4x=-1\Rightarrow x=\frac{1}{4}\), тогда \(y=-\frac{3}{2}\).
Ответ: \(\left(1,-\frac{5}{4}\right),\left(\frac{1}{4},-\frac{3}{2}\right)\).

4) Пусть \(a=x-y\), \(b=x+y\). Тогда \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=a^2=9\Rightarrow a=\pm3\).
Также \(4x^2+xy+4y^2=4(x^2+y^2)+xy=4\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)+\frac{b^2-a^2}{4}=\frac{9a^2+9b^2}{4}=18\Rightarrow a^2+b^2=8\).
При \(a^2=9\) получаем \(b^2=-1\), что невозможно.
Ответ: \(\emptyset\).

1) Сначала используем разложение \((x-2)(y-1)=0\), откуда либо \(x=2\), либо \(y=1\). При \(x=2\) подставляем в первое уравнение \(2x^{2}-3xy+5y=5\): получаем \(2\cdot2^{2}-3\cdot2\cdot y+5y=5\Rightarrow8-6y+5y=5\Rightarrow-y=-3\Rightarrow y=3\). При \(y=1\) имеем \(2x^{2}-3x\cdot1+5\cdot1=5\Rightarrow2x^{2}-3x=0\Rightarrow x(2x-3)=0\), откуда \(x=0\) или \(x=\frac{3}{2}\). Проверка подстановкой подтверждает выполнение обоих уравнений в системе для найденных пар. Итоговый набор решений: \((2,3)\), \((0,1)\), \(\left(\frac{3}{2},1\right)\).

2) Преобразуем \((x-1)y=2x-2\Rightarrow(x-1)y=2(x-1)\Rightarrow(x-1)(y-2)=0\), значит либо \(x=1\), либо \(y=2\). При \(x=1\) второе уравнение \(x^{2}+y^{2}+3xy=4\) даёт \(1+y^{2}+3y=4\Rightarrow y^{2}+3y-3=0\). Дискриминант \(D=3^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=9+12=21\), поэтому \(y=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\). При \(y=2\) имеем \(x^{2}+2^{2}+3x\cdot2=4\Rightarrow x^{2}+4+6x=4\Rightarrow x^{2}+6x=0\Rightarrow x(x+6)=0\), откуда \(x=0\) или \(x=-6\). Каждая из полученных пар удовлетворяет исходной системе. Ответ: \(\left(1,\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\right)\), \(\left(1,\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\right)\), \((0,2)\), \((-6,2)\).

3) Из второго уравнения \(2x^{2}+x-3=(x-1)(y+5)\) переносим всё в произведения: \(2x^{2}+x-3=(x-1)(2x+3)\). Приравнивая правые части, получаем \((x-1)(2x+3)=(x-1)(y+5)\Rightarrow(x-1)\big((2x+3)-(y+5)\big)=0\). Следовательно, либо \(x=1\), либо \(y=2x-2\). Если \(x=1\), первое уравнение \(2x^{2}-xy-3y=7\) даёт \(2\cdot1^{2}-1\cdot y-3y=7\Rightarrow2-4y=7\Rightarrow-4y=5\Rightarrow y=-\frac{5}{4}\). Если \(y=2x-2\), подставляем в первое: \(2x^{2}-x(2x-2)-3(2x-2)=7\Rightarrow2x^{2}-2x^{2}+2x-6x+6=7\Rightarrow-4x=-1\Rightarrow x=\frac{1}{4}\). Тогда \(y=2\cdot\frac{1}{4}-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\). Обе пары проходят проверку в исходной системе. Ответ: \(\left(1,-\frac{5}{4}\right)\), \(\left(\frac{1}{4},-\frac{3}{2}\right)\).

4) Заменим переменные: \(a=x-y\), \(b=x+y\). Тогда \(x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}=a^{2}=9\Rightarrow a=\pm3\). Кроме того, \(x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\) и \(xy=\frac{b^{2}-a^{2}}{4}\). Вычислим \(4x^{2}+xy+4y^{2}=4(x^{2}+y^{2})+xy=4\cdot\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+\frac{b^{2}-a^{2}}{4}=\frac{9a^{2}+9b^{2}}{4}\). По условию это равно \(18\), значит \(\frac{9(a^{2}+b^{2})}{4}=18\Rightarrow a^{2}+b^{2}=8\). Но из \(a^{2}=9\) следует \(b^{2}=8-9=-1\), что невозможно для действительных \(b\). Следовательно, действительных решений нет. Ответ: \(\emptyset\).