ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(2x^2 — 3xy + 5y = 5, (x — 2)(y — 1) = 0\);
2) \((x — 1)y = 2x — 2, x^2 + y^2 + 3xy = 4\);
3) \(2x^2 — xy — 3y = 7, 2x^2 + x — 3 = (x — 1)(y + 5)\);
4) \(x^2 — 2xy + y^2 = 9, 4x^2 + xy + 4y^2 = 18\).

1)
Из первого уравнения:
\((x-2)(y+2)=0\)
\(x=2\) или \(y=-2\)

Если \(x=2\):
\(2^2+2y^2-3\cdot2=5\)
\(4+2y^2-6=5\)
\(2y^2=7\)
\(y^2=\frac{7}{2}\)
\(y=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\)

Если \(y=-2\):
\(x^2+2\cdot(-2)^2-3x=5\)
\(x^2+8-3x=5\)
\(x^2-3x+3=0\)
Дискриминант отрицательный, решений нет: \(x\in\emptyset\)

Ответ:
\((2;-\sqrt{\frac{7}{2}})\), \((2;\sqrt{\frac{7}{2}})\)

2)
Из второго уравнения:
\((2x-y)y=y\)
\(2x-y=1\) или \(y=0\)

Если \(y=2x-1\):
\(4x^2+(2x-1)^2-2x(2x-1)=7\)
\(4x^2+4x^2-4x+1-4x^2+2x=7\)
\(4x^2-2x-6=0\)
\(2x^2-x-3=0\)
\(x_1=-1\), \(x_2=\frac{3}{2}\)
\(y_1=2\cdot(-1)-1=-3\), \(y_2=2\cdot\frac{3}{2}-1=2\)

Если \(y=0\):
\(4x^2=7\)
\(x=\pm\sqrt{\frac{7}{4}}\)

Ответ:
\((-1;-3)\), \((\frac{3}{2};2)\), \((-\sqrt{\frac{7}{4}};0)\), \((\sqrt{\frac{7}{4}};0)\)

3)
Из первого уравнения:
\((x+4)(y-1)=(x+4)(x+1)\)
\(x+4=0\) или \(y-1=x+1\)
\(x=-4\), \(y=x+2\)

Если \(x=-4\):
\((-4)^2-y^2-3\cdot(-4)+8=0\)
\(16-y^2+12+8=0\)
\(y^2=36\)
\(y=\pm6\)

Если \(y=x+2\):
\(x^2-(x+2)^2-3x+8=0\)
\(x^2-x^2-4x-4-3x+8=0\)
\(7x=4\)
\(x=\frac{4}{7}\), \(y=\frac{18}{7}\)

Ответ:
\((-4;-6)\), \((-4;6)\), \((\frac{4}{7};\frac{18}{7})\)

4)
Из второго уравнения:
\((x+y)^2=9\)
\(x+y=-3\) или \(x+y=3\)
\(y=-x-3\) или \(y=3-x\)

Если \(y=-x-3\):
\((x+1)^2+(-x-3+1)^2=25\)
\((x+1)^2+(x+2)^2=25\)
\(x^2+2x+1+x^2+4x+4=25\)
\(2x^2+6x-20=0\)
\(x^2+3x-10=0\)
\(x_1=-5\), \(x_2=2\)
\(y_1=2\), \(y_2=-5\)

Если \(y=3-x\):
\((x+1)^2+(3-x+1)^2=25\)
\((x+1)^2+(4-x)^2=25\)
\(x^2+2x+1+16-8x+x^2=25\)
\(2x^2-6x-8=0\)
\(x^2-3x-4=0\)
\(x_1=-1\), \(x_2=4\)
\(y_1=4\), \(y_2=-1\)

Ответ:
\((-5;2)\), \((2;-5)\), \((-1;4)\), \((4;-1)\)

1) Начнем с анализа первого уравнения системы: \((x-2)(y+2)=0\). Это уравнение распадается на два случая: либо \(x-2=0\), либо \(y+2=0\). Первый случай дает \(x=2\), второй — \(y=-2\). Подставляя каждый из этих вариантов во второе уравнение системы \(x^{2}+2y^{2}-3x=5\), рассмотрим оба случая.

Если \(x=2\), то уравнение принимает вид: \(2^{2}+2y^{2}-3 \cdot 2=5\). Раскрываем скобки и приводим подобные: \(4+2y^{2}-6=5\), что упрощается до \(2y^{2}=7\), а значит \(y^{2}=\frac{7}{2}\). Отсюда \(y=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\). Таким образом, при \(x=2\) получаем два решения: \((2;-\sqrt{\frac{7}{2}})\) и \((2;\sqrt{\frac{7}{2}})\).

Если \(y=-2\), то подставляем это значение во второе уравнение: \(x^{2}+2 \cdot (-2)^{2}-3x=5\). Получаем: \(x^{2}+8-3x=5\), то есть \(x^{2}-3x+3=0\). Находим дискриминант: \(D=(-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 3=9-12=-3\). Дискриминант отрицателен, значит, действительных решений нет: \(x\in\emptyset\).

Ответ: \((2;-\sqrt{\frac{7}{2}})\), \((2;\sqrt{\frac{7}{2}})\)

2) Второе уравнение системы: \((2x-y)y=y\). Преобразуем его: \(2x y — y^{2}=y\). Переносим все члены в одну сторону: \(2x y — y^{2} — y=0\). Вынесем \(y\) за скобки: \(y(2x-y-1)=0\). Значит, либо \(y=0\), либо \(2x-y-1=0\), то есть \(y=2x-1\).

Рассмотрим сначала \(y=2x-1\). Подставим в первое уравнение: \(4x^{2}+(2x-1)^{2}-2x(2x-1)=7\). Раскроем скобки: \(4x^{2}+4x^{2}-4x+1-4x^{2}+2x=7\). Приведем подобные: \(4x^{2}-2x-6=0\), или \(2x^{2}-x-3=0\). Решая квадратное уравнение, получаем \(x_{1}=-1\), \(x_{2}=\frac{3}{2}\). Соответственно, \(y_{1}=2 \cdot (-1)-1=-3\), \(y_{2}=2 \cdot \frac{3}{2}-1=2\).

Если \(y=0\), то первое уравнение: \(4x^{2}=7\), отсюда \(x^{2}=\frac{7}{4}\), значит, \(x=\pm\sqrt{\frac{7}{4}}\).

Ответ: \((-1;-3)\), \((\frac{3}{2};2)\), \((-\sqrt{\frac{7}{4}};0)\), \((\sqrt{\frac{7}{4}};0)\)

3) В первом уравнении: \((x+4)(y-1)=(x+4)(x+1)\). Переносим все в одну часть: \((x+4)(y-1-x-1)=0\), то есть либо \(x+4=0\), либо \(y-1=x+1\), откуда \(y=x+2\).

Если \(x=-4\), то второе уравнение: \((-4)^{2}-y^{2}-3 \cdot (-4)+8=0\). Получаем: \(16-y^{2}+12+8=0\), или \(y^{2}=36\), значит, \(y=\pm6\).

Если \(y=x+2\), подставим во второе уравнение: \(x^{2}-(x+2)^{2}-3x+8=0\). Раскрываем скобки: \(x^{2}-x^{2}-4x-4-3x+8=0\), приводим: \(7x=4\), отсюда \(x=\frac{4}{7}\), соответственно, \(y=\frac{4}{7}+2=\frac{18}{7}\).

Ответ: \((-4;-6)\), \((-4;6)\), \((\frac{4}{7};\frac{18}{7})\)

4) Из второго уравнения: \((x+y)^{2}=9\), откуда \(x+y=3\) или \(x+y=-3\). Значит, \(y=3-x\) или \(y=-x-3\).

Если \(y=-x-3\), то первое уравнение: \((x+1)^{2}+(-x-3+1)^{2}=25\), то есть \((x+1)^{2}+(x+2)^{2}=25\). Раскрываем скобки: \(x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=25\), приводим: \(2x^{2}+6x-20=0\), делим на 2: \(x^{2}+3x-10=0\). Решаем: \(x_{1}=-5\), \(x_{2}=2\), соответственно, \(y_{1}=2\), \(y_{2}=-5\).

Если \(y=3-x\), первое уравнение: \((x+1)^{2}+(3-x+1)^{2}=25\), то есть \((x+1)^{2}+(4-x)^{2}=25\). Раскрываем скобки: \(x^{2}+2x+1+16-8x+x^{2}=25\), приводим: \(2x^{2}-6x-8=0\), делим на 2: \(x^{2}-3x-4=0\). Решаем: \(x_{1}=-1\), \(x_{2}=4\), соответственно, \(y_{1}=4\), \(y_{2}=-1\).

Ответ: \((-5;2)\), \((2;-5)\), \((-1;4)\), \((4;-1)\)