ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2 + xy = 15, y^2 + xy = 10\);
2) \(x^2 + 3xy = 18, xy + 4y^2 = 7\);
3) \(2y^2 + x^2 + xy = 4, 3xy — 2y = 5\);
4) \(x^2 + y + \frac{1}{4} = \emptyset, y^2 + x + \frac{1}{4} = \emptyset\).

1)
Сложим уравнения: \(x^2 + xy + y^2 + xy = 15 + 10\), получаем \(x^2 + 2xy + y^2 = 25\), то есть \((x + y)^2 = 25\), значит \(x + y = 5\) или \(x + y = -5\).
Если \(x + y = -5\): \(y = -x — 5\), подставляем во второе уравнение:
\(x^2 + x(-x — 5) = 15\), решаем: \(x = -3, y = -2\).
Если \(x + y = 5\): \(y = 5 — x\), подставляем:
\(x^2 + x(5 — x) = 15\), решаем: \(x = 3, y = 2\).
Ответ: \((-3; -2),\ (3; 2)\)

2)
Сложим уравнения: \(x^2 + 3xy + xy + 4y^2 = 18 + 7\), получаем \(x^2 + 4xy + 4y^2 = 25\), то есть \((x + 2y)^2 = 25\), значит \(x + 2y = 5\) или \(x + 2y = -5\).
Если \(x + 2y = -5\): \(x = -2y — 5\), подставляем:
\(y(-2y — 5) + 4y^2 = 7\), решаем: \(y_1 = -1, x_1 = -3;\ y_2 = 3.5, x_2 = -12\).
Если \(x + 2y = 5\): \(x = 5 — 2y\), подставляем:
\(y(5 — 2y) + 4y^2 = 7\), решаем: \(y_1 = -3.5, x_1 = 12;\ y_2 = 1, x_2 = 3\).
Ответ: \((-3; -1),\ (-12; 3.5),\ (12; -3.5),\ (3; 1)\)

3)
Вычтем второе из первого:
\(2y^2 + x^2 + xy — (3xy — 2y) = 4 — 5\), получаем \(2y^2 + x^2 — 2xy + 2y = -1\).
Перепишем: \(y^2 — 2xy + x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0\), то есть \((y — x)^2 + (y + 1)^2 = 0\).
Решение: \(y — x = 0,\ y + 1 = 0\), значит \(x = y = -1\).
Ответ: \((-1; -1)\)

4)
Сложим уравнения: \(x^2 + y + \frac{1}{4} + y^2 + x + \frac{1}{4} = 0\), получаем \(x^2 + x + y^2 + y + \frac{1}{2} = 0\),
то есть \((x + \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 0\).
Решение: \(x = -\frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2}\)
Ответ: \((- \frac{1}{2}; — \frac{1}{2})\)

В первом случае рассматриваем систему уравнений: \(x^{2} + xy = 15\) и \(y^{2} + xy = 10\). Складывая оба уравнения, получаем \(x^{2} + xy + y^{2} + xy = 15 + 10\), что упрощается до \(x^{2} + 2xy + y^{2} = 25\). Это выражение можно записать как \((x + y)^{2} = 25\). Следовательно, \(x + y = 5\) или \(x + y = -5\). Подставляя \(y = 5 — x\) в первое уравнение, получаем \(x^{2} + x(5 — x) = 15\), что приводит к \(x^{2} + 5x — x^{2} = 15\), отсюда \(5x = 15\), значит \(x = 3\) и \(y = 2\). Аналогично, при \(x + y = -5\), подставляем \(y = -x — 5\), получаем \(x^{2} + x(-x — 5) = 15\), что даёт \(x^{2} — x^{2} — 5x = 15\), отсюда \(5x = -15\), значит \(x = -3\) и \(y = -2\). Таким образом, решения системы — это пары \((3; 2)\) и \((-3; -2)\).

Во втором случае анализируем систему: \(x^{2} + 3xy = 18\) и \(xy + 4y^{2} = 7\). Складывая, получаем \(x^{2} + 3xy + xy + 4y^{2} = 18 + 7\), то есть \(x^{2} + 4xy + 4y^{2} = 25\), что можно записать как \((x + 2y)^{2} = 25\). Следовательно, \(x + 2y = 5\) или \(x + 2y = -5\). Если \(x + 2y = -5\), то \(x = -2y — 5\). Подставляем в второе уравнение: \(y(-2y — 5) + 4y^{2} = 7\), получаем \(-2y^{2} — 5y + 4y^{2} = 7\), что упрощается до \(2y^{2} — 5y — 7 = 0\). Решая квадратное уравнение, находим \(y_{1} = -1\) и \(y_{2} = \frac{7}{2}\), соответствующие значения \(x_{1} = -3\) и \(x_{2} = -12\). Если \(x + 2y = 5\), то \(x = 5 — 2y\), подставляем в второе уравнение: \(y(5 — 2y) + 4y^{2} = 7\), получаем \(5y — 2y^{2} + 4y^{2} = 7\), что упрощается до \(2y^{2} + 5y — 7 = 0\). Решая, находим \(y_{3} = -\frac{7}{2}\) и \(y_{4} = 1\), соответствующие значения \(x_{3} = 12\) и \(x_{4} = 3\). Все найденные пары: \((-3; -1)\), \((-12; 3.5)\), \((12; -3.5)\), \((3; 1)\).

В третьем случае имеем систему: \(2y^{2} + x^{2} + xy = 4\) и \(3xy — 2y = 5\). Выразим разность первого и второго уравнения: \(2y^{2} + x^{2} + xy — (3xy — 2y) = 4 — 5\), получаем \(2y^{2} + x^{2} — 2xy + 2y = -1\). Переписываем как \(y^{2} — 2xy + x^{2} + y^{2} + 2y + 1 = 0\), то есть \((y — x)^{2} + (y + 1)^{2} = 0\). Сумма квадратов равна нулю только если оба слагаемых равны нулю: \(y — x = 0\) и \(y + 1 = 0\), отсюда \(x = y = -1\). Ответ: \((-1; -1)\).

В четвертом случае рассматриваем систему: \(x^{2} + y + \frac{1}{4} = 0\) и \(y^{2} + x + \frac{1}{4} = 0\). Складываем оба уравнения: \(x^{2} + y + \frac{1}{4} + y^{2} + x + \frac{1}{4} = 0\), получаем \(x^{2} + x + y^{2} + y + \frac{1}{2} = 0\). Это можно записать как \((x + \frac{1}{2})^{2} + (y + \frac{1}{2})^{2} = 0\). Сумма квадратов равна нулю только если оба слагаемых равны нулю: \(x + \frac{1}{2} = 0\) и \(y + \frac{1}{2} = 0\), отсюда \(x = -\frac{1}{2}\) и \(y = -\frac{1}{2}\). Ответ: \((- \frac{1}{2}; — \frac{1}{2})\).