ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2 + 4xy — 5y^2 = 0, x^2 — 3xy + 4y = 0\)
2) \(2x^2 + 3xy — 5y^2 = 0, x + y^2 + 1 = 0\)

Для системы уравнений:
\((x^2 + 4xy — 5y^2 = 0\)
\(x^2 — 3xy + 4y = 0)\)

Первое уравнение решается через дискриминант:
\(D = (4y)^2 + 4 \cdot (-5y^2) = 36y^2\).
Корни:
\(x_1 = -5y, x_2 = y\).

Подставляем \(x_1 = -5y\) во второе уравнение:
\((-5y)^2 — 3y(-5y) + 4y = 0\),
решая, получаем \(y_1 = -0,1, y_2 = 0\).
Соответствующие \(x_1\): \(x_1 = 0,5, x_2 = 0\).

Подставляем \(x_2 = y\):
\(y^2 — 3y^2 + 4y = 0\),
решая, получаем \(y_1 = 0, y_2 = 2\).
Соответствующие \(x_2\): \(x_1 = 0, x_2 = 2\).

Ответ: \((0,5; -0,1), (0; 0), (2; 2)\).

Для системы уравнений:
\((2x^2 + 3xy — 5y^2 = 0\)
\(x + y^2 + 1 = 0)\)

Первое уравнение решается через дискриминант:
\(D = (3y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot (-5y^2) = 49y^2\).
Корни:
\(x_1 = -\frac{5y}{2}, x_2 = y\).

Подставляем \(x_1 = -\frac{5y}{2}\) во второе уравнение:
\(-\frac{5y}{2} + y^2 + 1 = 0\),
решая, получаем \(y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = 2\).
Соответствующие \(x_1\): \(x_1 = -\frac{5}{4}, x_2 = -5\).

Подставляем \(x_2 = y\):
\(y^2 + 1 = 0\),
дискриминант \(D < 0\), значит \(y = \emptyset\). Ответ: \((-\frac{5}{4}; \frac{1}{2}), (-5; 2)\).

1. Рассмотрим систему уравнений:
\((x^2 + 4xy — 5y^2 = 0)\)
\((x^2 — 3xy + 4y = 0)\).

Решим первое уравнение относительно \(x\):
\((x^2 + 4xy — 5y^2 = 0)\).
Это квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2 + 4yx — 5y^2 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (4y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5y^2) = 16y^2 + 20y^2 = 36y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-4y — 6y}{2} = -5y\),
\(x_2 = \frac{-4y + 6y}{2} = y\).

Подставим \(x_1 = -5y\) во второе уравнение:
\((-5y)^2 — 3 \cdot (-5y) \cdot y + 4y = 0\),
\(25y^2 + 15y^2 + 4y = 0\),
\(40y^2 + 4y = 0\),
\(4y(10y + 1) = 0\).

Решения:
\(y_1 = 0, y_2 = -\frac{1}{10}\).

Соответствующие значения \(x\):
\(x_1 = -5 \cdot 0 = 0\),
\(x_2 = -5 \cdot -\frac{1}{10} = \frac{1}{2}\).

Теперь подставим \(x_2 = y\) во второе уравнение:
\(y^2 — 3y^2 + 4y = 0\),
\(-2y^2 + 4y = 0\),
\(2y(-y + 2) = 0\).

Решения:
\(y_1 = 0, y_2 = 2\).

Соответствующие значения \(x\):
\(x_1 = 0, x_2 = 2\).

Ответ:
\((0; 0), (\frac{1}{2}; -\frac{1}{10}), (2; 2)\).

2. Рассмотрим систему уравнений:
\((2x^2 + 3xy — 5y^2 = 0)\)
\((x + y^2 + 1 = 0)\).

Решим первое уравнение относительно \(x\):
\(2x^2 + 3yx — 5y^2 = 0\).
Это квадратное уравнение относительно \(x\):
\(2x^2 + 3yx — 5y^2 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (3y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-3y — 7y}{4} = -\frac{5y}{2}\),
\(x_2 = \frac{-3y + 7y}{4} = y\).

Подставим \(x_1 = -\frac{5y}{2}\) во второе уравнение:
\(-\frac{5y}{2} + y^2 + 1 = 0\),
\(2y^2 — 5y + 2 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\).

Корни:
\(y_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{1}{2}, y_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2\).

Соответствующие значения \(x\):
\(x_1 = -\frac{5 \cdot \frac{1}{2}}{2} = -\frac{5}{4}, x_2 = -\frac{5 \cdot 2}{2} = -5\).

Теперь подставим \(x_2 = y\) во второе уравнение:
\(y^2 + 1 = 0\).

Дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\).

Корней нет: \(y = \emptyset\).

Ответ:
\((-\frac{5}{4}; \frac{1}{2}), (-5; 2)\).