ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2 + 4xy — 5y^2 = 0, x^2 — 3xy + 4y = 0\)
2) \(2x^2 + 3xy — 5y^2 = 0, x + y^2 + 1 = 0\)

Для системы уравнений:
\((x^2 + 4xy — 5y^2 = 0\)
\(x^2 — 3xy + 4y = 0)\)

Первое уравнение решается через дискриминант:
\(D = (4y)^2 + 4 \cdot (-5y^2) = 36y^2\).
Корни:
\(x_1 = -5y, x_2 = y\).

Подставляем \(x_1 = -5y\) во второе уравнение:
\((-5y)^2 — 3y(-5y) + 4y = 0\),
решая, получаем \(y_1 = -0,1, y_2 = 0\).
Соответствующие \(x_1\): \(x_1 = 0,5, x_2 = 0\).

Подставляем \(x_2 = y\):
\(y^2 — 3y^2 + 4y = 0\),
решая, получаем \(y_1 = 0, y_2 = 2\).
Соответствующие \(x_2\): \(x_1 = 0, x_2 = 2\).

Ответ: \((0,5; -0,1), (0; 0), (2; 2)\).

Для системы уравнений:
\((2x^2 + 3xy — 5y^2 = 0\)
\(x + y^2 + 1 = 0)\)

Первое уравнение решается через дискриминант:
\(D = (3y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot (-5y^2) = 49y^2\).
Корни:
\(x_1 = -\frac{5y}{2}, x_2 = y\).

Подставляем \(x_1 = -\frac{5y}{2}\) во второе уравнение:
\(-\frac{5y}{2} + y^2 + 1 = 0\),
решая, получаем \(y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = 2\).
Соответствующие \(x_1\): \(x_1 = -\frac{5}{4}, x_2 = -5\).

Подставляем \(x_2 = y\):
\(y^2 + 1 = 0\),
дискриминант \(D < 0\), значит \(y = \emptyset\). Ответ: \((-\frac{5}{4}; \frac{1}{2}), (-5; 2)\).

Рассмотрим систему уравнений \((x^2 + 4xy — 5y^2 = 0;\ x^2 — 3xy + 4y = 0)\). Первое уравнение является квадратным относительно \(x\): \((1)\, x^2 + (4y)x + (-5y^2) = 0\). Дискриминант равен \(D = (4y)^2 — 4\cdot 1 \cdot (-5y^2) = 16y^2 + 20y^2 = 36y^2\). Корни по формуле квадратного уравнения: \(x = \frac{-4y \pm \sqrt{36y^2}}{2} = \frac{-4y \pm 6|y|}{2}\). Однако, учитывая однородность уравнения по \(x\) и \(y\), корректно выделить линейные множители без модуля: \(x = y\) и \(x = -5y\) (так как \(x^2 + 4xy — 5y^2 = (x-y)(x+5y)\)). Далее подставляем каждую ветвь в второе уравнение \((2)\, x^2 — 3xy + 4y = 0\). Ветвь \(x = -5y\) даёт \((-5y)^2 — 3y(-5y) + 4y = 25y^2 + 15y^2 + 4y = 40y^2 + 4y = 4y(10y + 1) = 0\). Отсюда \(y = 0\) или \(10y + 1 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{10}\). Соответствующие \(x\): при \(y = 0\) получаем \(x = -5\cdot 0 = 0\); при \(y = -\frac{1}{10}\) получаем \(x = -5\cdot \left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{2}\). Ветвь \(x = y\) подставляем во второе уравнение: \(y^2 — 3y^2 + 4y = -2y^2 + 4y = -2y(y — 2) = 0\). Тогда \(y = 0\) или \(y = 2\). Соответствующие \(x\): при \(y = 0\) имеем \(x = 0\); при \(y = 2\) имеем \(x = 2\). Итоговый набор решений системы: \((x,y) = \left(0,0\right), \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{10}\right), (2,2)\). Заметим, что запись десятичных эквивалентов \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) и \(-\frac{1}{10} = -0{,}1\) согласуется с указанными ранее значениями. Проверка подстановкой в оба уравнения подтверждает корректность: каждое найденное решение обращает оба уравнения в нуль, а иных корней нет, поскольку все ветви из факторизации первого уравнения исчерпывающе рассмотрены.

Перейдём к системе \((2x^2 + 3xy — 5y^2 = 0;\ x + y^2 + 1 = 0)\). Первое уравнение является квадратным относительно \(x\): \((1)\, 2x^2 + 3y\,x — 5y^2 = 0\). Дискриминант равен \(D = (3y)^2 — 4\cdot 2 \cdot (-5y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\). Корни: \(x = \frac{-3y \pm \sqrt{49y^2}}{2\cdot 2} = \frac{-3y \pm 7y}{4}\). Следовательно, получаем две ветви: \(x = y\) и \(x = -\frac{5y}{2}\). Подставим их во второе уравнение \((2)\, x + y^2 + 1 = 0\). Для ветви \(x = -\frac{5y}{2}\): \(-\frac{5y}{2} + y^2 + 1 = 0 \Rightarrow y^2 — \frac{5}{2}y + 1 = 0\). Дискриминант этого квадратного уравнения по \(y\): \(D_y = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 — 4\cdot 1 \cdot 1 = \frac{25}{4} — 4 = \frac{9}{4}\). Корни: \(y = \frac{\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}}{2} = \frac{5 \pm 3}{4}\). Тогда \(y_1 = \frac{8}{4} = 2\) и \(y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Соответствующие \(x\): при \(y = 2\), \(x = -\frac{5\cdot 2}{2} = -5\); при \(y = \frac{1}{2}\), \(x = -\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2} = -\frac{5}{4}\). Для ветви \(x = y\) подстановка даёт \(y + y^2 + 1 = 0\), то есть \(y^2 + y + 1 = 0\). Дискриминант \(D_y = 1 — 4 = -3 < 0\), вещественных решений нет, значит решений по этой ветви в действительных числах \(\emptyset\). Таким образом, все вещественные решения второй системы: \(\left(-\frac{5}{4}, \frac{1}{2}\right)\) и \((-5, 2)\). Проверка подстановкой подтверждает равенство нулю первой квадратичной формы и выполнение линейно-квадратичного ограничения второго уравнения для обеих пар. Итог: для первой системы множество решений состоит из трёх точек \(\{(0,0), (2,2), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{10})\}\). Для второй системы множество действительных решений состоит из двух точек \(\left\{ \left(-\frac{5}{4}, \frac{1}{2}\right), (-5, 2) \right\}\). В обоих случаях ключевым шагом было представление первого уравнения как квадратного по \(x\) с последующим разветвлением по корням и аккуратным решением получающихся уравнений по \(y\); проверка дискриминантов на каждом шаге обеспечивает полноту и корректность перечня решений, а также исключение мнимых корней, где \(D < 0\), что и привело к указанию \(\emptyset\) для ветви \(x = y\) во второй системе.