ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2 — 5y^2 = -1, 3xy + 7y^2 = 1\)
2) \(x^2 + xy — 3y^2 = -9, x^2 — y^2 — 2xy = -7\)
3) \(3x^2 — y^2 = 11, x^2 + 2xy — y^2 = 7\)
4) \(2x^2 + 3xy + y^2 = 3, 3x^2 — xy + 2y^2 = 16\)

1) \((x^2 — 5y^2 = -1\)
\((3xy + 7y^2 = 1\)

\(x^2 + 3xy + 2y^2 = 0\)
\(D = (3y)^2 — 4 \cdot 2y^2 = 9y^2 — 8y^2 = y^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{-3y — y}{2} = -2y\) и \(x_2 = \frac{-3y + y}{2} = -y\).

Первое значение:
\((-2y)^2 — 5y^2 = -1\)
\(4y^2 — 5y^2 = -1\)
\(y^2 = 1\)
\(y = \pm 1\)
\(x = -2 \cdot (\pm 1) = \pm 2\).

Второе значение:
\((-y)^2 — 5y^2 = -1\)
\(y^2 — 5y^2 = -1\)
\(-4y^2 = -1\)
\(y^2 = \frac{1}{4}\)
\(y = \pm \frac{1}{2}\)
\(x = -(\pm \frac{1}{2}) = \mp \frac{1}{2}\).

Ответ: \((-2; 1); (2; -1); (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}); (\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})\).

2) \((x^2 + xy — 3y^2 = -9\)
\((x^2 — 2xy = -7\)

\(-7x^2 — 7xy + 21y^2 = 63\)
\(9x^2 — 18xy — 9y^2 = -63\)
\(2x^2 — 25xy + 12y^2 = 0\)

\(D = (25y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 12y^2 = 625y^2 — 96y^2 = 529y^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{25y — 23y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}\)
\(x_2 = \frac{25y + 23y}{2 \cdot 2} = \frac{48y}{4} = 12y\).

Первое значение:
\((\frac{y}{2})^2 + y \cdot \frac{y}{2} — 3y^2 = -9\)
\(\frac{y^2}{4} + \frac{y^2}{2} — 3y^2 = -9\)
\(y^2 + 2y^2 — 12y^2 = -36\)
\(9y^2 = 36\)
\(y^2 = 4\)
\(y = \pm 2\)
\(x = \pm 1\).

Второе значение:
\((12y)^2 + y \cdot 12y — 3y^2 = -9\)
\(144y^2 + 12y^2 — 3y^2 = -9\)
\(153y^2 = -9\)
\(y \in \emptyset\).

Ответ: \((-1; -2); (1; 2)\).

3) \((3x^2 — y^2 = 11\)
\((x^2 + 2xy — y^2 = 7\)

\(21x^2 — 7y^2 = 77\)
\(11x^2 + 22xy — 11y^2 = 77\)

\(10x^2 — 22xy + 4y^2 = 0\)
\(5x^2 — 11xy + 2y^2 = 0\)

\(D = (11y)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2y^2 = 121y^2 — 40y^2 = 81y^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{11y — 9y}{2 \cdot 5} = \frac{2y}{10} = \frac{y}{5}\)
\(x_2 = \frac{11y + 9y}{2 \cdot 5} = \frac{20y}{10} = 2y\).

Первое значение:
\(3 \cdot (\frac{y}{5})^2 — y^2 = 11\)
\(\frac{3y^2}{25} — y^2 = 11\)
\(\frac{3y^2}{25} — \frac{25y^2}{25} = 11\)
\(-\frac{22y^2}{25} = 11\)
\(y^2 \in \emptyset\).

Второе значение:
\(3 \cdot (2y)^2 — y^2 = 11\)
\(12y^2 — y^2 = 11\)
\(11y^2 = 11\)
\(y^2 = 1\)
\(y = \pm 1\)
\(x = 2 \cdot (\pm 1) = \pm 2\).

Ответ: \((-2; -1); (2; 1)\).

4) \((2x^2 + 3xy + y^2 = 3\)
\((3x^2 — xy + 2y^2 = 16\)

\(32x^2 + 48xy + 16y^2 = 48\)
\(9x^2 — 3xy + 6y^2 = 48\)

\(23x^2 + 51xy + 10y^2 = 0\)

\(D = (51y)^2 — 4 \cdot 23 \cdot 10y^2 = 2601y^2 — 920y^2 = 1681y^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{-51y — 41y}{2 \cdot 23} = \frac{-92y}{46} = -2y\)
\(x_2 = \frac{-51y + 41y}{2 \cdot 23} = \frac{-10y}{46} = -\frac{5y}{23}\).

Первое значение:
\(2 \cdot (-2y)^2 + 3y \cdot (-2y) + y^2 = 3\)
\(8y^2 — 6y^2 + y^2 = 3\)
\(3y^2 = 3\)
\(y^2 = 1\)
\(y = \pm 1\)
\(x = -2 \cdot (\pm 1) = \mp 2\).

Второе значение:
\(2 \cdot (-\frac{5y}{23})^2 + 3y \cdot (-\frac{5y}{23}) + y^2 = 3\)
\(50y^2 — 345y^2 + 529y^2 = 1587\)
\(234y^2 = 1587\)
\(y^2 = \frac{529}{23^2}\)
\(y = \pm \frac{23}{\sqrt{78}}\)
\(x = -\frac{5}{23} \cdot \pm \frac{23}{\sqrt{78}} = \pm \frac{5}{\sqrt{78}}\).

Ответ: \((-2; 1); (2; -1); (-\frac{5}{\sqrt{78}}; \frac{23}{\sqrt{78}}); (\frac{5}{\sqrt{78}}; -\frac{23}{\sqrt{78}})\).

1)
\((x^2 — 5y^2 = -1)\)
\((3xy + 7y^2 = 1)\)

Запишем систему в виде:
\(x^2 + 3xy + 2y^2 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (3y)^2 — 4 \cdot 2y^2 = 9y^2 — 8y^2 = y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-3y — y}{2} = -2y\),
\(x_2 = \frac{-3y + y}{2} = -y\).

Первое значение:
\((-2y)^2 — 5y^2 = -1\),
\(4y^2 — 5y^2 = -1\),
\(-y^2 = -1\),
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\),
\(x = -2 \cdot (\pm 1) = \pm 2\).

Второе значение:
\((-y)^2 — 5y^2 = -1\),
\(y^2 — 5y^2 = -1\),
\(-4y^2 = -1\),
\(y^2 = \frac{1}{4}\),
\(y = \pm \frac{1}{2}\),
\(x = -(\pm \frac{1}{2}) = \mp \frac{1}{2}\).

Ответ:
\((-2; 1); (2; -1); (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}); (\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})\).

2)
\((x^2 + xy — 3y^2 = -9)\)
\((x^2 — 2xy = -7)\)

Умножим первое уравнение на \(-7\), второе на \(9\):
\(-7x^2 — 7xy + 21y^2 = 63\),
\(9x^2 — 18xy — 9y^2 = -63\).

Сложим уравнения:
\(2x^2 — 25xy + 12y^2 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (25y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 12y^2 = 625y^2 — 96y^2 = 529y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{25y — 23y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}\),
\(x_2 = \frac{25y + 23y}{2 \cdot 2} = \frac{48y}{4} = 12y\).

Первое значение:
\((\frac{y}{2})^2 + y \cdot \frac{y}{2} — 3y^2 = -9\),
\(\frac{y^2}{4} + \frac{y^2}{2} — 3y^2 = -9\),
\(y^2 + 2y^2 — 12y^2 = -36\),
\(9y^2 = 36\),
\(y^2 = 4\),
\(y = \pm 2\),
\(x = \pm 1\).

Второе значение:
\((12y)^2 + y \cdot 12y — 3y^2 = -9\),
\(144y^2 + 12y^2 — 3y^2 = -9\),
\(153y^2 = -9\),
\(y \in \emptyset\).

Ответ:
\((-1; -2); (1; 2)\).

3)
\((3x^2 — y^2 = 11)\)
\((x^2 + 2xy — y^2 = 7)\)

Умножим первое уравнение на \(7\), второе на \(11\):
\(21x^2 — 7y^2 = 77\),
\(11x^2 + 22xy — 11y^2 = 77\).

Сложим уравнения:
\(10x^2 — 22xy + 4y^2 = 0\).

Упростим:
\(5x^2 — 11xy + 2y^2 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (11y)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2y^2 = 121y^2 — 40y^2 = 81y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{11y — 9y}{2 \cdot 5} = \frac{2y}{10} = \frac{y}{5}\),
\(x_2 = \frac{11y + 9y}{2 \cdot 5} = \frac{20y}{10} = 2y\).

Первое значение:
\(3 \cdot (\frac{y}{5})^2 — y^2 = 11\),
\(\frac{3y^2}{25} — y^2 = 11\),
\(\frac{3y^2}{25} — \frac{25y^2}{25} = 11\),
\(-\frac{22y^2}{25} = 11\),
\(y^2 \in \emptyset\).

Второе значение:
\(3 \cdot (2y)^2 — y^2 = 11\),
\(12y^2 — y^2 = 11\),
\(11y^2 = 11\),
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\),
\(x = 2 \cdot (\pm 1) = \pm 2\).

Ответ:
\((-2; -1); (2; 1)\).

4)
\((2x^2 + 3xy + y^2 = 3)\)
\((3x^2 — xy + 2y^2 = 16)\)

Умножим первое уравнение на \(16\), второе на \(3\):
\(32x^2 + 48xy + 16y^2 = 48\),
\(9x^2 — 3xy + 6y^2 = 48\).

Сложим уравнения:
\(23x^2 + 51xy + 10y^2 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (51y)^2 — 4 \cdot 23 \cdot 10y^2 = 2601y^2 — 920y^2 = 1681y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-51y — 41y}{2 \cdot 23} = \frac{-92y}{46} = -2y\),
\(x_2 = \frac{-51y + 41y}{2 \cdot 23} = \frac{-10y}{46} = -\frac{5y}{23}\).

Первое значение:
\(2 \cdot (-2y)^2 + 3y \cdot (-2y) + y^2 = 3\),
\(8y^2 — 6y^2 + y^2 = 3\),
\(3y^2 = 3\),
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\),
\(x = -2 \cdot (\pm 1) = \mp 2\).

Второе значение:
\(2 \cdot (-\frac{5y}{23})^2 + 3y \cdot (-\frac{5y}{23}) + y^2 = 3\),
\(50y^2 — 345y^2 + 529y^2 = 1587\),
\(234y^2 = 1587\),
\(y^2 = \frac{529}{23^2}\),
\(y = \pm \frac{23}{\sqrt{78}}\),
\(x = -\frac{5}{23} \cdot \pm \frac{23}{\sqrt{78}} = \pm \frac{5}{\sqrt{78}}\).

Ответ:
\((-2; 1); (2; -1); (-\frac{5}{\sqrt{78}}; \frac{23}{\sqrt{78}}); (\frac{5}{\sqrt{78}}; -\frac{23}{\sqrt{78}})\).