ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \((x-y)(x^2-y^2) = 16, (x+y)(x^2+y^2) = 40\)
2) \(x^3 — 3x^2y = -4, y^3 — xy^2 = -1\)

1)

Дано:
\((x-y)(x^2-y^2) = 16\)
\((x+y)(x^2+y^2) = 40\)

Выразим произведение:
\((x+y)(x-y)^2 = 16\)
\((x+y)(x^2+y^2) = 40\)

Рассмотрим систему:
\((x-y)^2 = \frac{2}{5}\)
\(x^2 + y^2 = 5\)

Подставим значения:
\(5(x^2 — 2xy + y^2) = 2(x^2 + y^2)\)
\(5x^2 — 10xy + 5y^2 = 2x^2 + 2y^2\)
\(3x^2 — 10xy + 3y^2 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (10y)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3y^2 = 100y^2 — 36y^2 = 64y^2\)

Найдем корни:
\(x_1 = \frac{10y — 8y}{2 \cdot 3} = \frac{2y}{6} = \frac{y}{3}\)
\(x_2 = \frac{10y + 8y}{2 \cdot 3} = \frac{18y}{6} = 3y\)

Первое значение:
\(\left(\frac{y}{3} + y\right)\left(\frac{y^2}{9} + y^2\right) = 40\)
\(4y \cdot \frac{10y^2}{9} = 40\)
\(y^3 = 27\)
\(y = 3\)
\(x = \frac{3}{3} = 1\)

Второе значение:
\((3y + y)(9y^2 + y^2) = 40\)
\(4y \cdot 10y^2 = 40\)
\(y^3 = 1\)
\(y = 1\)
\(x = 3 \cdot 1 = 3\)

Ответ: \((1; 3); (3; 1)\)

2)

Дано:
\(x^3 — 3x^2y = -4\)
\(y^3 — xy^2 = -1\)

Выразим \(x\):
\(x = \frac{y^3 + 1}{y^2}\)

Подставим в первое уравнение:
\(\left(\frac{y^3 + 1}{y^2}\right)^3 — 3y \cdot \left(\frac{y^3 + 1}{y^2}\right)^2 = -4\)

Умножим на \(y^6\):
\((y^3 + 1)^3 — 3y^3(y^6 + 2y^3 + 1) = -4y^6\)
\(y^9 + 3y^6 + 3y^3 + 1 — 3y^9 — 6y^6 — 3y^3 = -4y^6\)
\(-2y^9 + y^6 + 1 = 0\)

Разложим на множители:
\(1 — y^9 + y^6 — y^9 = 0\)
\((1-y^3)(1+y^3+y^6) + y^6(1-y^3) = 0\)
\((1-y^3)(2y^6+y^3+1) = 0\)

Найдем корень:
\(1-y^3 = 0\)
\(y^3 = 1\)
\(y = 1\)

Подставим значение \(y\) в выражение для \(x\):
\(x = \frac{1^3 + 1}{1^2} = \frac{2}{1} = 2\)

Ответ: \((2; 1)\)

Решить систему уравнений:
1) \((x-y)(x^2-y^2) = 16\)
\((x+y)(x^2+y^2) = 40 \Rightarrow (x+y)(x-y)^2 = 16\)
\((x+y)(x^2+y^2) = 40\)

\((x-y)^2 = \frac{2}{5}\)
\(x^2 + y^2 = 5\)

\(5(x^2 — 2xy + y^2) = 2(x^2 + y^2);\)
\(5x^2 — 10xy + 5y^2 = 2x^2 + 2y^2;\)
\(3x^2 — 10xy + 3y^2 = 0;\)

\(D = (10y)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3y^2 = 100y^2 — 36y^2 = 64y^2,\) тогда:
\(x_1 = \frac{10y — 8y}{2 \cdot 3} = \frac{2y}{6} = \frac{y}{3}\) и \(x_2 = \frac{10y + 8y}{2 \cdot 3} = \frac{18y}{6} = 3y;\)

Первое значение:
\(\left(\frac{y}{3} + y\right)\left(\frac{y^2}{9} + y^2\right) = 40;\)
\(4y \cdot \frac{10y^2}{9} = 40;\)
\(y^3 = 27;\)
\(y = 3;\)
\(x = \frac{3}{3} = 1;\)

Второе значение:
\((3y + y)(9y^2 + y^2) = 40;\)
\(4y \cdot 10y^2 = 40;\)
\(y^3 = 1;\)
\(y = 1;\)
\(x = 3 \cdot 1 = 3;\)

Ответ: \((1; 3); (3; 1).\)

2) \(\{x^3 — 3x^2y = -4\)
\(y^3 — xy^2 = -1\} \Rightarrow x = \frac{y^3 + 1}{y^2};\)

\(\left(\frac{y^3 + 1}{y^2}\right)^3 — 3y \cdot \left(\frac{y^3 + 1}{y^2}\right)^2 = -4 \; | \cdot y^6;\)
\((y^3 + 1)^3 — 3y^3(y^6 + 2y^3 + 1) = -4y^6;\)
\(y^9 + 3y^6 + 3y^3 + 1 — 3y^9 — 6y^6 — 3y^3 = -4y^6;\)
\(-2y^9 + y^6 + 1 = 0;\)
\(1 — y^9 + y^6 — y^9 = 0;\)
\((1-y^3)(1+y^3+y^6) + y^6(1-y^3) = 0;\)
\((1-y^3)(2y^6+y^3+1) = 0;\)
\(1-y^3 = 0;\)
\(y^3 = 1;\)
\(y = 1;\)

\(x = \frac{1^3 + 1}{1^2} = \frac{2}{1} = 2;\)

Ответ: \((2; 1).\)