ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \((x+y)(x^2-y^2) = 9, (x-y)(x^2+y^2) = 5\)
2) \(x^2 — 2y^2 = 4, y(x^2+2y^2) = 3\)

Решить систему уравнений:

1)
\((x+y)^2=\frac{9}{x^2+y^2}=\frac{9}{5};\)

\(5(x^2+2xy+y^2)=9(x^2+y^2);\)

\(5x^2+10xy+5y^2=9x^2+9y^2;\)

\(4x^2-10xy+4y^2=0 \quad |:2;\)

\(2x^2-5xy+2y^2=0;\)

\(D=(5y)^2-4\cdot2\cdot2y^2=25y^2-16y^2=9y^2,\) тогда:

\(x_1=\frac{5y-3y}{2\cdot2}=\frac{2y}{4}=y \quad \text{и} \quad x_2=\frac{5y+3y}{2\cdot2}=\frac{8y}{4}=2y;\)

Первое значение:

\(\left(\frac{y}{2}-y\right)\left(\frac{y^2}{4}+y^2\right)=5;\)

\(-\frac{y}{2}\cdot\frac{5y^2}{4}=5;\)

\(-\frac{5y^3}{8}=5;\)

\(y^3=-8;\)

\(y=-2;\)

\(x=\frac{-2}{2}=-1;\)

Второе значение:

\((2y-y)(4y^2+y^2)=5;\)

\(y\cdot5y^2=5;\)

\(y^3=1;\)

\(y=1;\)

\(x=2\cdot1=2;\)

Ответ: \((-1;-2); (2;1).\)

2)

\(\left(\frac{x}{y}(x^2-2y^2)=4 \quad \frac{y}{x}(x^2+2y^2)=3\right);\)

\(x^2(x^2-2y^2)=\frac{4}{3}y^2(x^2+2y^2);\)

\(3x^2(x^2-2y^2)=4y^2(x^2+2y^2);\)

\(3x^4-6x^2y^2=4y^2x^2+8y^4;\)

\(3x^4-10x^2y^2-8y^4=0;\)

\(D=(10y^2)^2+4\cdot3\cdot8y^4=100y^4+96y^4=196y^4,\) тогда:

\(x_1=\frac{10y^2-14y^2}{2\cdot3}=\frac{-4y^2}{6}<0 \quad \text{и} \quad x_2=\frac{10y^2+14y^2}{2\cdot3}=\frac{24y^2}{6}=4y^2;\) \(x=\pm\sqrt{4y^2}=\pm2y;\) Из второго уравнения: \(\frac{y}{\pm2y}(4y^2+2y^2)=3;\) \(\frac{6y^2}{2}=3;\) \(3y^2=\pm3;\) \(y^2=\pm1;\) \(y=\pm1;\) \(x=\pm2y;\) \(y=\pm1;\) \(x=2\cdot(\pm1)=\pm2;\) Ответ: \((-2;-1); (2;1).\)

Решить систему уравнений:

1)

Даны уравнения:

\(((x+y)(x^2-y^2)=9 \quad ((x-y)(x^2+y^2)=5)\)

Преобразуем первое уравнение, используя формулу разности квадратов:

\(((x-y)(x+y)^2=9 \quad ((x-y)(x^2+y^2)=5)\)

Имеем, что:

\((x+y)^2=\frac{9}{x^2+y^2}=\frac{9}{5}\)

Подставляем это значение в первое уравнение:

\(5(x^2+2xy+y^2)=9(x^2+y^2)\)

Раскрываем скобки:

\(5x^2+10xy+5y^2=9x^2+9y^2\)

Приводим подобные:

\(4x^2-10xy+4y^2=0 \quad |:2\)

Получаем:

\(2x^2-5xy+2y^2=0\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D=(5y)^2-4\cdot2\cdot2y^2=25y^2-16y^2=9y^2\)

Находим корни:

\(x_1=\frac{5y-3y}{2\cdot2}=\frac{2y}{4}=y\)

\(x_2=\frac{5y+3y}{2\cdot2}=\frac{8y}{4}=2y\)

Рассмотрим первое значение \(x_1=y\):

\(\left(\frac{y}{2}-y\right)\left(\frac{y^2}{4}+y^2\right)=5\)

Упростим выражение:

\(-\frac{y}{2}\cdot\frac{5y^2}{4}=5\)

\(-\frac{5y^3}{8}=5\)

Решаем:

\(y^3=-8\)

\(y=-2\)

Находим \(x\):

\(x=\frac{-2}{2}=-1\)

Теперь рассмотрим второе значение \(x_2=2y\):

\((2y-y)(4y^2+y^2)=5\)

Упростим:

\(y\cdot5y^2=5\)

Решаем:

\(y^3=1\)

\(y=1\)

Находим \(x\):

\(x=2\cdot1=2\)

Ответ: \((-1;-2); (2;1)\)

2)

Даны уравнения:

\(\left(\frac{x}{y}(x^2-2y^2)=4 \quad \frac{y}{x}(x^2+2y^2)=3\right)\)

Преобразуем первое уравнение:

\(x^2(x^2-2y^2)=\frac{4}{3}y^2(x^2+2y^2)\)

Раскроем скобки:

\(3x^2(x^2-2y^2)=4y^2(x^2+2y^2)\)

\(3x^4-6x^2y^2=4y^2x^2+8y^4\)

Приведем подобные:

\(3x^4-10x^2y^2-8y^4=0\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D=(10y^2)^2+4\cdot3\cdot8y^4=100y^4+96y^4=196y^4\)

Находим корни:

\(x_1=\frac{10y^2-14y^2}{2\cdot3}=\frac{-4y^2}{6}<0\) \(x_2=\frac{10y^2+14y^2}{2\cdot3}=\frac{24y^2}{6}=4y^2\) Находим \(x\): \(x=\pm\sqrt{4y^2}=\pm2y\) Рассмотрим второе уравнение: \(\frac{y}{\pm2y}(4y^2+2y^2)=3\) Упростим: \(\frac{6y^2}{2}=3\) Решаем: \(3y^2=\pm3\) \(y^2=\pm1\) Находим \(y\): \(y=\pm1\) Находим \(x\): \(x=\pm2y\) \(x=2\cdot(\pm1)=\pm2\) Ответ: \((-2;-1); (2;1)\)