ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x + y + xy = 5, x^2 + y^2 + xy = 7\)
2) \(xy + 2x + 2y = 5, x^2 + y^2 + 3x + 3y = 8\)

Решить систему уравнений:
1) \(\begin{cases} x + y + xy = 5 \\ x^2 + y^2 + xy = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x+y) + xy — 5 = 0 \\ (x + y)^2 — xy — 7 = 0 \end{cases} \);
\((x+y)^2 + (x+y) — 12 = 0\); \(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\), тогда: \((x+y)_1 = \frac{-1-7}{2} = -4\) и \((x+y)_2 = \frac{-1+7}{2} = 3\); \(y_1 = -4 — x\) и \(y_2 = 3 — x\);
Первое значение: \(x + (-4 — x) + x(-4 — x) = 5\); \(-4 — 4x — x^2 = 5\); \(x^2 + 4x + 9 = 0\); \(D = 4^2 — 4 \cdot 9 = 16 — 36 = -20\); \(D < 0\), значит \(x \in \emptyset\); Второе значение: \(x + (3 - x) + x(3 - x) = 5\); \(3 + 3x - x^2 = 5\); \(x^2 - 3x + 2 = 0\); \(D = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1\), тогда: \(x_1 = \frac{3-1}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{3+1}{2} = 2\); \(y_1 = 3 - 1 = 2\) и \(y_2 = 3 - 2 = 1\); Ответ: \((1; 2)\); \((2; 1)\). 2) \(\begin{cases} xy + 2x + 2y = 5 \\ x^2 + y^2 + 3x + 3y = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2xy + 4(x + y) - 10 = 0 \\ (x + y)^2 - 2xy + 3(x + y) - 8 = 0 \end{cases} \); \((x + y)^2 + 7(x + y) - 18 = 0\); \(D = 7^2 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121\), тогда: \((x+y)_1 = \frac{-7-11}{2} = -9\) и \((x+y)_2 = \frac{-7+11}{2} = 2\); \(y_1 = -9 - x\) и \(y_2 = 2 - x\); Первое значение: \(x(-9 - x) + 2x + 2(-9 - x) = 5\); \(-9x - x^2 + 2x - 18 - 2x = 5\); \(x^2 + 9x + 23 = 0\); \(D = 9^2 - 4 \cdot 23 = 81 - 92 = -11\); \(D < 0\), значит \(x \in \emptyset\); Второе значение: \(x(2 - x) + 2x + 2(2 - x) = 5\); \(2x - x^2 + 2x + 4 - 2x = 5\); \(x^2 - 2x + 1 = 0\); \(x = 1\); \(y = 2 - 1 = 1\); Ответ: \((1; 1)\).

1) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} x + y + xy = 5 \\ x^2 + y^2 + xy = 7 \end{cases}\). Для решения введем новую переменную \(s = x + y\), а также используем выражение для \(x^2 + y^2\), которое равно \(s^2 — 2xy\). Подставим это в уравнения.

Первое уравнение принимает вид \(s + xy = 5\), откуда \(xy = 5 — s\). Второе уравнение преобразуется в \(x^2 + y^2 + xy = (s^2 — 2xy) + xy = s^2 — xy = 7\). Подставим \(xy = 5 — s\) во второе уравнение: \(s^2 — (5 — s) = 7\), что дает \(s^2 + s — 5 = 7\), или \(s^2 + s — 12 = 0\).

Решим квадратное уравнение \(s^2 + s — 12 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\), корни уравнения: \(s_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4\), \(s_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3\). Таким образом, получаем два возможных значения суммы: \(s = -4\) и \(s = 3\).

Рассмотрим первый случай, когда \(s = -4\). Тогда \(y = -4 — x\), и подставим это в первое уравнение: \(x + (-4 — x) + x(-4 — x) = 5\), что упрощается до \(-4 — 4x — x^2 = 5\), или \(x^2 + 4x + 9 = 0\). Дискриминант \(D = 4^2 — 4 \cdot 9 = 16 — 36 = -20\), \(D < 0\), значит, действительных решений нет, \(x \in \emptyset\). Теперь рассмотрим второй случай, когда \(s = 3\). Тогда \(y = 3 - x\), подставим в первое уравнение: \(x + (3 - x) + x(3 - x) = 5\), что дает \(3 + 3x - x^2 = 5\), или \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Дискриминант \(D = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1\), корни: \(x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\). Для \(x_1 = 1\) получаем \(y_1 = 3 - 1 = 2\), для \(x_2 = 2\) получаем \(y_2 = 3 - 2 = 1\). Таким образом, решения: \((1; 2)\) и \((2; 1)\). Ответ: \((1; 2)\); \((2; 1)\). 2) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} xy + 2x + 2y = 5 \\ x^2 + y^2 + 3x + 3y = 8 \end{cases}\). Введем переменную \(s = x + y\). Первое уравнение можно записать как \(xy + 2s = 5\), откуда \(xy = 5 - 2s\). Второе уравнение преобразуем, используя \(x^2 + y^2 = s^2 - 2xy\), тогда \(s^2 - 2xy + 3s = 8\). Подставим \(xy = 5 - 2s\) во второе уравнение: \(s^2 - 2(5 - 2s) + 3s = 8\), что дает \(s^2 - 10 + 4s + 3s = 8\), или \(s^2 + 7s - 18 = 0\). Дискриминант \(D = 7^2 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121\), корни: \(s_1 = \frac{-7 - 11}{2} = -9\), \(s_2 = \frac{-7 + 11}{2} = 2\). Рассмотрим первый случай, когда \(s = -9\). Тогда \(y = -9 - x\), подставим в первое уравнение: \(x(-9 - x) + 2x + 2(-9 - x) = 5\), что дает \(-9x - x^2 + 2x - 18 - 2x = 5\), или \(x^2 + 9x + 23 = 0\). Дискриминант \(D = 9^2 - 4 \cdot 23 = 81 - 92 = -11\), \(D < 0\), значит, решений нет, \(x \in \emptyset\). Теперь рассмотрим второй случай, когда \(s = 2\). Тогда \(y = 2 - x\), подставим: \(x(2 - x) + 2x + 2(2 - x) = 5\), что дает \(2x - x^2 + 2x + 4 - 2x = 5\), или \(x^2 - 2x + 1 = 0\). Решение: \(x = 1\), тогда \(y = 2 - 1 = 1\). Таким образом, решение: \((1; 1)\). Ответ: \((1; 1)\).