ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2 + y^2 = 17, x + xy + y = 9\)
2) \(x^2 + y^2 — x — y = 18, x^2 + y^2 — xy = 13\)

1) Решаем систему уравнений \( x^2 + y^2 = 17 \) и \( x + xy + y = 9 \). Преобразуем второе уравнение: \( x + y + xy = 9 \). Используем подстановку \( s = x + y \), \( p = xy \). Тогда из первого уравнения: \( s^2 — 2p = 17 \), из второго: \( s + p = 9 \), откуда \( p = 9 — s \). Подставляем в первое: \( s^2 — 2(9 — s) = 17 \), то есть \( s^2 + 2s — 35 = 0 \). Дискриминант \( D = 4 + 140 = 144 \), корни \( s = \frac{-2 \pm 12}{2} \), то есть \( s = 5 \) или \( s = -7 \). Для \( s = 5 \): \( p = 9 — 5 = 4 \), решаем \( x + y = 5 \), \( xy = 4 \), корни \( x, y = 1, 4 \). Для \( s = -7 \): \( p = 9 — (-7) = 16 \), но \( x^2 + y^2 = (-7)^2 — 2 \cdot 16 = 49 — 32 = 17 \), дискриминант отрицательный, решений нет. Ответ: \( (1, 4) \), \( (4, 1) \).

2) Решаем систему \( x^2 + y^2 — x — y = 18 \) и \( x^2 + y^2 — xy = 13 \). Вычтем второе из первого: \( -x — y + xy = 5 \), то есть \( xy — x — y = 5 \). Пусть \( s = x + y \), \( p = xy \), тогда \( p — s = 5 \), \( p = s + 5 \). Из второго уравнения: \( s^2 — 2p — p = 13 \), подставляем \( p = s + 5 \): \( s^2 — 3s — 28 = 0 \). Дискриминант \( D = 9 + 112 = 121 \), корни \( s = \frac{3 \pm 11}{2} \), то есть \( s = 7 \) или \( s = -4 \). Для \( s = 7 \): \( p = 12 \), решаем \( x + y = 7 \), \( xy = 12 \), корни \( x, y = 3, 4 \). Для \( s = -4 \): \( p = 1 \), решаем \( x + y = -4 \), \( xy = 1 \), корни \( x, y = -2 \pm \sqrt{3} \). Ответ: \( (3, 4) \), \( (4, 3) \), \( (-2 — \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}) \), \( (-2 + \sqrt{3}, -2 — \sqrt{3}) \).

1) \( x^2 + y^2 = 17 \)

\( x + xy + y = 9 \)

\( (x + y)^2 — 2xy — 17 = 0 \)

\( 2(x + y) + 2xy — 18 = 0 \)

\( (x + y)^2 — 2(x + y) — 35 = 0 \); \( D = 2^2 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144 \), тогда: \( \frac{-2 — 12}{2} = -7 \) и \( \frac{-2 + 12}{2} = 5 \); \( y_1 = -7 — x \) и \( y_2 = 5 — x \);

Первое значение: \( x^2 + (-7 — x)^2 = 17 \); \( x^2 + 49 + 14x + x^2 = 17 \); \( 2x^2 + 14x + 32 = 0 \) | : 2; \( x^2 + 7x + 16 = 0 \); \( D = 7^2 — 4 \cdot 16 = 49 — 64 = -15 \); \( D < 0 \), значит \( x = \emptyset \); Второе значение: \( x^2 + (5 - x)^2 = 17 \); \( x^2 + 25 - 10x + x^2 = 17 \); \( 2x^2 - 10x + 8 = 0 \) | : 2; \( x^2 - 5x + 4 = 0 \); \( D = 5^2 - 4 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \), тогда: \( \frac{5 - 3}{2} = 1 \) и \( \frac{5 + 3}{2} = 4 \); \( y_1 = 5 - 1 = 4 \) и \( y_2 = 5 - 4 = 1 \); Ответ: \( (1; 4) \); \( (4; 1) \). 2) \( x^2 + y^2 - x - y = 18 \) | -3 \( x^2 + y^2 - xy = 13 \) | -2 \( (x + y)^2 - 3(x + y) = 28 \); \( (x + y)^2 - 3(x + y) - 28 = 0 \); \( D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121 \), тогда: \( \frac{3 - 11}{2} = -4 \) и \( \frac{3 + 11}{2} = 7 \); \( y_1 = -4 - x \) и \( y_2 = 7 - x \); \( 3(x + y)^2 - 6xy - 3(x + y) = 54 \) \( 2(x + y)^2 - 6xy = 26 \) Первое значение: \( x^2 + (-4 - x)^2 - x(-4 - x) = 13 \); \( x^2 + 16 + 8x + x^2 + 4x + x^2 = 13 \); \( 3x^2 + 12x + 3 = 0 \); \( D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 144 - 36 = 108 = 36 \cdot 3 \), тогда: \( x = \frac{-12 \pm \sqrt{108}}{6} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{3}}{6} = -2 \pm \sqrt{3} \); \( y = -4 - (-2 \pm \sqrt{3}) = -2 \mp \sqrt{3} \); Второе значение: \( x^2 + (7 - x)^2 - x(7 - x) = 13 \); \( x^2 + 49 - 14x + x^2 - 7x + x^2 = 13 \); \( 3x^2 - 21x + 36 = 0 \) | : 3; \( x^2 - 7x + 12 = 0 \); \( D = 7^2 - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \), тогда: \( \frac{7 - 1}{2} = 3 \) и \( \frac{7 + 1}{2} = 4 \); \( y_1 = 7 - 3 = 4 \) и \( y_2 = 7 - 4 = 3 \); Ответ: \( (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3}) \); \( (-2 + \sqrt{3}; -2 - \sqrt{3}) \); \( (3; 4) \); \( (4; 3) \).