ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \((x-1)(y-1) = 1, x^2y + xy^2 = 16\)
2) \((x^2+1)(y^2+1) = 10, (x+y)(xy-1) = 3\)

1) Для системы \((x-1)(y-1) = 1\) и \(x^2 y + x y^2 = 16\), что эквивалентно \(xy — (x + y) + 1 = 1\) и \(xy(x + y) = 16\), вводим \(a = x + y\), \(b = xy\). Тогда \(b — a = 0\), \(a b = 16\), откуда \(a = b = \pm 4\).
— Если \(a = -4\), \(b = -4\), то \(x^2 + 4x — 4 = 0\), \(x = -2 \pm 2\sqrt{2}\), \(y = -2 \mp 2\sqrt{2}\).
— Если \(a = 4\), \(b = 4\), то \(x^2 — 4x + 4 = 0\), \(x = 2\), \(y = 2\).
Ответ: \((-2 — 2\sqrt{2}; -2 + 2\sqrt{2})\), \((-2 + 2\sqrt{2}; -2 — 2\sqrt{2})\), \((2; 2)\).

2) Для системы \((x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10\) и \((x + y)(xy — 1) = 3\), вводим \(a = x + y\), \(b = xy\). Тогда \(b^2 + a^2 — 2b = 9\), \(a(b — 1) = 3\). Решаем, подставляя \(a = \frac{3}{b — 1}\), получаем \(b^4 — 4b^3 — 4b^2 + 16b = 0\), откуда \(b = -2, 0, 2, 4\), а \(a = -1, -3, 3, 1\).
— Для \(a = -1\), \(b = -2\): \(x^2 + x — 2 = 0\), \(x = 1, -2\), \(y = -2, 1\).
— Для \(a = -3\), \(b = 0\): \(x(x + 3) = 0\), \(x = 0, -3\), \(y = -3, 0\).
— Для \(a = 3\), \(b = 2\): \(x^2 — 3x + 2 = 0\), \(x = 1, 2\), \(y = 2, 1\).
— Для \(a = 1\), \(b = 4\): \(x^2 — x + 4 = 0\), дискриминант отрицательный, решений нет (\(\emptyset\)).
Ответ: \((-2; 1)\), \((1; -2)\), \((-3; 0)\), \((0; -3)\), \((1; 2)\), \((2; 1)\).

1) \((x-1)(y-1) = 1\) и \(x^2 y + x y^2 = 16\), что эквивалентно \(xy — (x + y) + 1 = 1\) и \(xy(x + y) = 16\). Пусть \(a = x + y\) и \(b = xy\), тогда: \(b — a = 0\) и \(a b = 16\), откуда \(a^2 = 16\), \(b = a = \pm 4\).

Первое значение: \(x + y = -4\), \(xy = -4\), откуда \(x(-4 — x) = -4\), \(x^2 + 4x — 4 = 0\), дискриминант \(D = 4^2 + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32 = 16 \cdot 2\), тогда: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}\), \(y = -4 — (-2 \pm 2\sqrt{2}) = -2 \mp 2\sqrt{2}\).

Второе значение: \(x + y = 4\), \(xy = 4\), откуда \(x(4 — x) = 4\), \(x^2 — 4x + 4 = 0\), \((x — 2)^2 = 0\), \(x = 2\), \(y = 4 — 2 = 2\).

Ответ: \((-2 — 2\sqrt{2}; -2 + 2\sqrt{2})\), \((-2 + 2\sqrt{2}; -2 — 2\sqrt{2})\), \((2; 2)\).

2) \((x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10\) и \((xy)^2 + (x + y)^2 — 2xy + 1 = 10\), а также \((x + y)(xy — 1) = 3\), что эквивалентно \((x + y)(xy — 1) = 3\). Пусть \(a = x + y\) и \(b = xy\), тогда: \(b^2 + a^2 — 2b = 9\) и \(a(b — 1) = 3\).

Из второго уравнения \(a = \frac{3}{b — 1}\), подставим в первое: \(b^2 + \left(\frac{3}{b — 1}\right)^2 — 2b = 9\), умножим на \((b — 1)^2\): \(b^2 (b — 1)^2 + 9 — 2b (b — 1)^2 = 9 (b — 1)^2\), после раскрытия скобок: \(b^4 — 2b^3 + b^2 + 9 — 2b^3 + 4b^2 — 2b = 9b^2 — 18b + 9\), итого: \(b^4 — 4b^3 — 4b^2 + 16b = 0\), \(b(b^2 (b — 4) — 4(b — 4)) = 0\), \(b(b + 2)(b — 2)(b — 4) = 0\), откуда \(b_1 = -2\), \(b_2 = 0\), \(b_3 = 2\), \(b_4 = 4\); соответствующие значения \(a_1 = -1\), \(a_2 = -3\), \(a_3 = 3\), \(a_4 = 1\).

Первое значение: \(x + y = -1\), \(xy = -2\), откуда \(x(-1 — x) = -2\), \(x^2 + x — 2 = 0\), дискриминант \(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}\), \(x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\), \(y_1 = -1 — 1 = -2\), \(y_2 = -1 — (-2) = 1\).

Второе значение: \(x + y = -3\), \(xy = 0\), откуда \(x(-3 — x) = 0\), \((x + 3)x = 0\), \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\), \(y_1 = 0\), \(y_2 = -3\).

Третье значение: \(x + y = 3\), \(xy = 2\), откуда \(x(3 — x) = 2\), \(x^2 — 3x + 2 = 0\), дискриминант \(D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\), тогда: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}\), \(x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(y_1 = 3 — 2 = 1\), \(y_2 = 3 — 1 = 2\).

Четвертое значение: \(x + y = 1\), \(xy = 4\), откуда \(x(1 — x) = 4\), \(x^2 — x + 4 = 0\), дискриминант \(D = 1^2 — 4 \cdot 4 = 1 — 16 = -15\), \(D < 0\), значит решений нет (\(\emptyset\)). Ответ: \((-2; 1)\), \((1; -2)\), \((-3; 0)\), \((0; -3)\), \((1; 2)\), \((2; 1)\).