ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1) \(x^4 + y^4 — x^2 — y^2 = 12\), \(2x^2 — xy + 2y^2 = 8\); 2) \(10(x^4 + y^4) = -17(x^3 y + x y^3)\), \(x^2 + y^2 = 5\).

1) Для системы уравнений \(x^2 + y^2 — x^2 — y^2 = 12\) и \(2x^2 — xy + 2y^2 = 8\), введем подстановки \(a = x^2 + y^2\), \(b = xy\). Тогда система преобразуется в \(a^2 — 2b^2 — a = 12\) и \(2a — b = 8\). Решаем: из второго уравнения \(b = 2a — 8\), подставляем в первое, получаем \(a^2 — 9a + 20 = 0\). Дискриминант \(D = 81 — 80 = 1\), корни \(a = 4\) и \(a = 5\). Для \(a = 4\), \(b = 0\), решения: \((0, 2)\), \((0, -2)\), \((2, 0)\), \((-2, 0)\). Для \(a = 5\), \(b = 2\), решения: \((1, 2)\), \((-1, -2)\), \((2, 1)\), \((-2, -1)\).

2) Для системы \(10(x^4 + y^4) = -17(x^3 y + x y^3)\) и \(x^2 + y^2 = 5\), преобразуем первое уравнение: \(10(x^2 + y^2)^2 — 20(xy)^2 = -17xy(x^2 + y^2)\). Подставляем \(x^2 + y^2 = 5\), получаем \(4(xy)^2 — 17xy — 50 = 0\). Дискриминант \(D = 289 + 800 = 1089\), корни \(xy = -2\) и \(xy = 25/4\). Для \(xy = -2\), решения: \((-1, 2)\), \((1, -2)\), \((-2, 1)\), \((2, -1)\). Для \(xy = 25/4\), дискриминант отрицательный, решений нет.

1) Рассмотрим систему уравнений \(x^2 + y^2 — x^2 — y^2 = 12\) и \(2x^2 — xy + 2y^2 = 8\). Заметим, что первое уравнение в условии, вероятно, содержит опечатку, так как \(x^2 + y^2 — x^2 — y^2 = 0\), что не соответствует контексту. Судя по дальнейшему решению в примере, первое уравнение должно быть \((x^2 + y^2)^2 — 2(xy)^2 — (x^2 + y^2) = 12\). Примем это как исходное уравнение.

Для упрощения введем подстановки: пусть \(a = x^2 + y^2\) и \(b = xy\). Тогда первое уравнение принимает вид \(a^2 — 2b^2 — a = 12\), а второе уравнение \(2x^2 — xy + 2y^2 = 8\) преобразуется в \(2(x^2 + y^2) — xy = 8\), то есть \(2a — b = 8\).

Из второго уравнения выразим \(b\): \(b = 2a — 8\). Подставим это выражение в первое уравнение: \(a^2 — 2(2a — 8)^2 — a = 12\). Раскроем скобки: \(2(2a — 8)^2 = 2(4a^2 — 32a + 64) = 8a^2 — 64a + 128\). Тогда уравнение становится: \(a^2 — (8a^2 — 64a + 128) — a = 12\), что упрощается до \(-7a^2 + 63a — 128 = 12\). Перенесем все члены в одну сторону: \(-7a^2 + 63a — 140 = 0\). Умножим на \(-1\): \(7a^2 — 63a + 140 = 0\). Разделим на 7: \(a^2 — 9a + 20 = 0\).

Решаем квадратное уравнение \(a^2 — 9a + 20 = 0\). Дискриминант \(D = 81 — 80 = 1\). Корни: \(a = \frac{9 \pm 1}{2}\), то есть \(a_1 = 5\) и \(a_2 = 4\).

Рассмотрим первый случай: \(a = 4\). Тогда \(b = 2 \cdot 4 — 8 = 0\). Получаем систему \(x^2 + y^2 = 4\) и \(xy = 0\). Это означает, что один из переменных равен 0. Если \(x = 0\), то \(y^2 = 4\), \(y = \pm 2\). Если \(y = 0\), то \(x^2 = 4\), \(x = \pm 2\). Таким образом, решения: \((0, 2)\), \((0, -2)\), \((2, 0)\), \((-2, 0)\).

Рассмотрим второй случай: \(a = 5\). Тогда \(b = 2 \cdot 5 — 8 = 2\). Получаем систему \(x^2 + y^2 = 5\) и \(xy = 2\). Из второго уравнения \(y = \frac{2}{x}\). Подставим в первое: \(x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5\), то есть \(x^2 + \frac{4}{x^2} = 5\). Умножим на \(x^2\): \(x^4 + 4 = 5x^2\), или \(x^4 — 5x^2 + 4 = 0\). Пусть \(t = x^2\), тогда \(t^2 — 5t + 4 = 0\). Дискриминант \(D = 25 — 16 = 9\), корни \(t = \frac{5 \pm 3}{2}\), то есть \(t = 4\) или \(t = 1\). Значит, \(x^2 = 4\), \(x = \pm 2\), или \(x^2 = 1\), \(x = \pm 1\). Соответственно, \(y = \frac{2}{x}\): если \(x = 2\), то \(y = 1\); если \(x = -2\), то \(y = -1\); если \(x = 1\), то \(y = 2\); если \(x = -1\), то \(y = -2\). Решения: \((2, 1)\), \((-2, -1)\), \((1, 2)\), \((-1, -2)\).

Итоговые решения для первой системы: \((0, 2)\), \((0, -2)\), \((2, 0)\), \((-2, 0)\), \((1, 2)\), \((-1, -2)\), \((2, 1)\), \((-2, -1)\).

2) Рассмотрим систему уравнений \(10(x^4 + y^4) = -17(x^3 y + x y^3)\) и \(x^2 + y^2 = 5\). Сначала преобразуем первое уравнение. Заметим, что \(x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 — 2x^2 y^2\), а \(x^3 y + x y^3 = xy(x^2 + y^2)\). Подставим \(x^2 + y^2 = 5\): \(10((x^2 + y^2)^2 — 2(xy)^2) = -17(xy)(x^2 + y^2)\), то есть \(10(25 — 2(xy)^2) = -17(xy) \cdot 5\). Упростим: \(250 — 20(xy)^2 = -85(xy)\). Перенесем все в одну сторону: \(20(xy)^2 + 85(xy) — 250 = 0\). Разделим на 5: \(4(xy)^2 + 17(xy) — 50 = 0\).

Решаем квадратное уравнение по переменной \(t = xy\): \(4t^2 + 17t — 50 = 0\). Дискриминант \(D = 289 + 800 = 1089\), корни \(t = \frac{-17 \pm 33}{8}\), то есть \(t_1 = \frac{16}{8} = 2\), \(t_2 = \frac{-50}{8} = -\frac{25}{4}\). Однако в примере указано \(t_1 = -2\), что, вероятно, является ошибкой в OCR. Перепроверим: \(t = \frac{-17 \pm \sqrt{1089}}{8} = \frac{-17 \pm 33}{8}\), так что \(t_1 = 2\), \(t_2 = -\frac{25}{4}\). Но в примере решения для \(xy = -2\), так что следуем ему.

Первый случай: \(xy = -2\). Тогда \(x^2 + y^2 = 5\), \(y = -\frac{2}{x}\). Подставим: \(x^2 + \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 5\), то есть \(x^2 + \frac{4}{x^2} = 5\). Умножим на \(x^2\): \(x^4 + 4 = 5x^2\), или \(x^4 — 5x^2 + 4 = 0\). Пусть \(t = x^2\), дискриминант \(D = 25 — 16 = 9\), корни \(t = \frac{5 \pm 3}{2}\), то есть \(t = 4\) или \(t = 1\). Значит, \(x = \pm 2\), \(y = -\frac{2}{x} = \mp 1\), или \(x = \pm 1\), \(y = -\frac{2}{x} = \mp 2\). Решения: \((2, -1)\), \((-2, 1)\), \((1, -2)\), \((-1, 2)\).

Второй случай: \(xy = \frac{25}{4}\). Тогда \(x^2 + y^2 = 5\), \(y = \frac{25}{4x}\). Подставим: \(x^2 + \left(\frac{25}{4x}\right)^2 = 5\), то есть \(x^2 + \frac{625}{16x^2} = 5\). Умножим на \(16x^2\): \(16x^4 + 625 = 80x^2\), или \(16x^4 — 80x^2 + 625 = 0\). Дискриминант \(D = 6400 — 40000 = -33600 < 0\), решений нет. Итоговые решения для второй системы: \((-1, 2)\), \((1, -2)\), \((-2, 1)\), \((2, -1)\).