ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1) \(5(x^4 + y^4) = 41(x^2 + y^2)\), \(x^2 + y^2 + xy = 13\); 2) \(3xy — x^2 — y^2 = 5\), \(7x^2 y^2 — x^4 — y^4 = 155\).

1) Для системы уравнений \(5(x^4 + y^4) = 41(x^2 + y^2)\) и \(x^2 + y^2 + xy = 13\), введем замену \(a = x^2 + y^2\), \(b = xy\). Тогда система преобразуется в \(5a^2 — 10b^2 = 41a\) и \(a + b = 13\). Подставим \(b = 13 — a\) во второе уравнение и решим квадратное уравнение по \(a\): \(5a^2 — 219a + 1690 = 0\). Дискриминант \(D = 219^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1690 = 14161\), корни \(a_1 = 10\), \(a_2 = 33.8\). Для \(a_1 = 10\), \(b_1 = 3\), решая \(x^2 + y^2 = 10\), \(xy = 3\), получаем \(x^2 = 1\) или \(x^2 = 9\), что дает решения \((x, y) = (\pm1, \pm3)\) и \((x, y) = (\pm3, \pm1)\). Для \(a_2 = 33.8\), \(b_2 = -20.8\), дискриминант отрицательный, решений нет. Ответ: \((-1, -3)\), \((1, 3)\), \((-3, -1)\), \((3, 1)\).

2) Для системы \(3xy — x^2 — y^2 = 5\) и \(7x^2 y^2 — x^4 — y^4 = 155\), введем \(a = x^2 + y^2\), \(b = xy\). Тогда система становится \(3b — a = 5\) и \(9b^2 — a^2 = 155\). Решив, получаем \(a = 13\), \(b = 6\). Подставим в \(x^2 + y^2 = 13\), \(xy = 6\), решая квадратное уравнение \(x^4 — 13x^2 + 36 = 0\), находим \(x^2 = 4\) или \(x^2 = 9\), что дает решения \((x, y) = (\pm2, \pm3)\) и \((x, y) = (\pm3, \pm2)\). Ответ: \((-2, -3)\), \((2, 3)\), \((-3, -2)\), \((3, 2)\).

1) Рассмотрим систему уравнений \(5(x^4 + y^4) = 41(x^2 + y^2)\) и \(x^2 + y^2 + xy = 13\). Наша цель — найти все пары \((x, y)\), удовлетворяющие этим уравнениям. Для упрощения вычислений введем замену: пусть \(a = x^2 + y^2\) и \(b = xy\). Тогда второе уравнение принимает вид \(a + b = 13\), откуда \(b = 13 — a\).

Теперь преобразуем первое уравнение. Заметим, что \(x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 — 2x^2 y^2 = a^2 — 2b^2\). Подставим это выражение в первое уравнение: \(5(a^2 — 2b^2) = 41a\). Получаем \(5a^2 — 10b^2 = 41a\). Учитывая, что \(b = 13 — a\), подставим это в уравнение: \(5a^2 — 10(13 — a)^2 = 41a\).

Раскроем скобки: \((13 — a)^2 = 169 — 26a + a^2\), тогда \(10(169 — 26a + a^2) = 1690 — 260a + 10a^2\). Подставим обратно: \(5a^2 — (1690 — 260a + 10a^2) = 41a\), что упрощается до \(5a^2 — 1690 + 260a — 10a^2 — 41a = 0\), или \(-5a^2 + 219a — 1690 = 0\). Умножим на \(-1\): \(5a^2 — 219a + 1690 = 0\).

Решим это квадратное уравнение по \(a\). Дискриминант \(D = (-219)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1690 = 47961 — 33800 = 14161\). Корень из дискриминанта: \(\sqrt{14161} = 119\). Тогда корни уравнения: \(a = \frac{219 \pm 119}{2 \cdot 5}\). Первый корень: \(a_1 = \frac{219 + 119}{10} = \frac{338}{10} = 33.8\), второй корень: \(a_2 = \frac{219 — 119}{10} = \frac{100}{10} = 10\).

Рассмотрим оба значения. Для \(a = 10\), \(b = 13 — 10 = 3\). Тогда \(x^2 + y^2 = 10\), \(xy = 3\). Составим уравнение на \(x^2\): \((x^2 + y^2)^2 — 2(xy)^2 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 — 2x^2 y^2 = x^4 + y^4 = 10^2 — 2 \cdot 3^2 =\)
\(= 100 — 18 = 82\), но нам нужно найти сами \(x\) и \(y\). Пусть \(t = x^2\), тогда \(y^2 = 10 — t\), а \(xy = 3\), значит \(y = \frac{3}{x}\), и \(y^2 = \frac{9}{t}\). Тогда \(\frac{9}{t} = 10 — t\), откуда \(9 = 10t — t^2\), или \(t^2 — 10t + 9 = 0\). Дискриминант \(D = 100 — 36 = 64\), корни \(t = \frac{10 \pm 8}{2}\), то есть \(t_1 = 9\), \(t_2 = 1\). Таким образом, \(x^2 = 9\), \(y^2 = 1\) или \(x^2 = 1\), \(y^2 = 9\), что дает решения \((x, y) = (\pm3, \pm1)\) или \((x, y) = (\pm1, \pm3)\), учитывая знаки и комбинации: \((3, 1)\), \((-3, -1)\), \((1, 3)\), \((-1, -3)\).

Для \(a = 33.8\), \(b = 13 — 33.8 = -20.8\). Тогда \(x^2 + y^2 = 33.8\), \(xy = -20.8\). Составим уравнение \(t^2 — 33.8t + (-20.8)^2 = 0\), или \(t^2 — 33.8t + 432.64 = 0\). Дискриминант \(D = 33.8^2 — 4 \cdot 432.64 = 1142.44 — 1730.56 = -588.12 < 0\), что означает отсутствие действительных решений. Таким образом, этот случай отбрасывается. Итоговые решения для первой системы: \((-1, -3)\), \((1, 3)\), \((-3, -1)\), \((3, 1)\). 2) Рассмотрим вторую систему уравнений: \(3xy - x^2 - y^2 = 5\) и \(7x^2 y^2 - x^4 - y^4 = 155\). Введем замену \(a = x^2 + y^2\), \(b = xy\). Тогда первое уравнение становится \(3b - a = 5\), а второе можно переписать как \(7b^2 - (x^4 + y^4) = 155\). Поскольку \(x^4 + y^4 = a^2 - 2b^2\), то второе уравнение принимает вид \(7b^2 - (a^2 - 2b^2) = 155\), или \(9b^2 - a^2 = 155\). Из первого уравнения \(a = 3b - 5\). Подставим это во второе уравнение: \(9b^2 - (3b - 5)^2 = 155\). Раскроем скобки: \((3b - 5)^2 = 9b^2 - 30b + 25\), тогда \(9b^2 - (9b^2 - 30b + 25) = 155\), или \(9b^2 - 9b^2 + 30b - 25 = 155\), что упрощается до \(30b - 25 = 155\), откуда \(30b = 180\), \(b = 6\). Теперь найдём \(a\): \(a = 3 \cdot 6 - 5 = 18 - 5 = 13\). Таким образом, \(x^2 + y^2 = 13\), \(xy = 6\). Составим уравнение для \(x^2\): пусть \(t = x^2\), тогда \(y^2 = 13 - t\), а \(y = \frac{6}{x}\), значит \(y^2 = \frac{36}{t}\). Тогда \(\frac{36}{t} = 13 - t\), откуда \(36 = 13t - t^2\), или \(t^2 - 13t + 36 = 0\). Дискриминант \(D = 169 - 144 = 25\), корни \(t = \frac{13 \pm 5}{2}\), то есть \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\). Таким образом, \(x^2 = 9\), \(y^2 = 4\) или \(x^2 = 4\), \(y^2 = 9\), что дает решения \((x, y) = (\pm3, \pm2)\) или \((x, y) = (\pm2, \pm3)\), учитывая знаки: \((3, 2)\), \((-3, -2)\), \((2, 3)\), \((-2, -3)\). Итоговые решения для второй системы: \((-2, -3)\), \((2, 3)\), \((-3, -2)\), \((3, 2)\).