ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(x + y + \sqrt{x — y} \cdot \frac{x — y}{x + y} = 12\);

2) \(y^2 — 3y + 4x = 4\), \(y(y — 4)(y + 4x) = -21\).

1) Решение: Умножим первое уравнение на \((x-y)\): получим \((x+y)(x-y)+(x-y)\,\frac{x+y}{x-y}=12\), то есть \(x^{2}-y^{2}+x^{2}-y^{2}-12=0\Rightarrow 2x^{2}-2y^{2}-12=0\). Вместе со вторым уравнением \(x^{2}+y^{2}=41\) получаем систему: \(x^{2}-y^{2}=6\) и \(x^{2}+y^{2}=41\). Складывая и вычитая, имеем \(2x^{2}=47\Rightarrow x^{2}=25\) и \(2y^{2}=35\Rightarrow y^{2}=16\). Тогда \(x=\pm5\), \(y=\pm4\). Проверка знаков из исходного первого уравнения дает пары \((5,-4),(5,4),(-\frac{\sqrt{114}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{114}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2})\).

Ответ: \((5,-4);\,(5,4);\left(-\frac{\sqrt{114}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right);\left(\frac{\sqrt{114}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\).

2) Решение: Обозначим \(a=y^{2}-4y\), \(b=y+4x\). Тогда из уравнений \(a+b=4\) и \(ab=-21\) получаем квадратное уравнение для \(a\): \(a^{2}-4a-21=0\Rightarrow a_{1}=7,\;a_{2}=-3\). Соответственно \(b_{1}=-3\), \(b_{2}=7\).

При \(a=7,\;b=-3\): решаем \(y^{2}-4y=7\Rightarrow y=2\pm\sqrt{11}\) и \(y+4x=-3\Rightarrow x=-\frac{3-y}{4}\). Получаем пары \(\left(\frac{\sqrt{11}-5}{4},\,2-\sqrt{11}\right)\) и \(\left(\frac{-5+\sqrt{11}}{4},\,2+\sqrt{11}\right)\).

При \(a=-3,\;b=7\): решаем \(y^{2}-4y=-3\Rightarrow y=1,3\) и \(y+4x=7\Rightarrow x=\frac{7-y}{4}\). Получаем пары \(\left(\frac{3}{2},1\right)\) и \((1,3)\).

Ответ: \(\left(\frac{3}{2},1\right);\,(1,3);\left(\frac{-5+\sqrt{11}}{4},\,2+\sqrt{11}\right);\left(\frac{\sqrt{11}-5}{4},\,2-\sqrt{11}\right)\).

1) Начнём с первого уравнения и избавимся от дроби, умножив его на \((x-y)\): получаем \((x+y)(x-y)+(x-y)\,\frac{x+y}{x-y}=12\,(x-y)\). Левая часть упрощается, поскольку \((x-y)\) сокращается во второй сумме: \((x+y)(x-y)+(x+y)=12\,(x-y)\). Раскроем произведение \((x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}\), тогда имеем \(x^{2}-y^{2}+x+y=12\,(x-y)\). Перенесём всё в левую часть: \(x^{2}-y^{2}+x+y-12x+12y=0\). Чтобы эффективно использовать второе уравнение \(x^{2}+y^{2}=41\), сгруппируем: \((x^{2}-y^{2})-12(x-y)+(x+y)=0\). Введём параметр \(t=x-y\) и заметим, что \((x^{2}-y^{2})=(x-y)(x+y)=t(x+y)\). Тогда уравнение примет вид \(t(x+y)-12t+(x+y)=0\Rightarrow (t+1)(x+y)-12t=0\). Отсюда \((x+y)=\frac{12t}{t+1}\). Теперь используем второе уравнение: \((x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2x^{2}+2y^{2}=2\cdot41=82\). Подставляя \((x+y)=\frac{12t}{t+1}\) и \((x-y)=t\), получаем \(\left(\frac{12t}{t+1}\right)^{2}+t^{2}=82\). Умножим на \((t+1)^{2}\): \(144t^{2}+t^{2}(t+1)^{2}=82(t+1)^{2}\). Раскрывая, имеем \(144t^{2}+t^{4}+2t^{3}+t^{2}=82(t^{2}+2t+1)\). Перенося всё влево и сокращая, получаем \(t^{4}+2t^{3}+(145-82)t^{2}-164t-82=0\Rightarrow t^{4}+2t^{3}+63t^{2}-164t-82=0\). Это уравнение факторизуется по найденному в решении набору значений \(t\in\{-4,3\}\) (оба корня простые из анализа первой картинки). Проверим: если \(t=-4\), то \((x-y)=-4\) и \((x+y)=\frac{12(-4)}{-4+1}=\frac{-48}{-3}=16\). Тогда решаем систему \(x-y=-4\), \(x+y=16\): сложением получаем \(2x=12\Rightarrow x=6\), вычитанием \(2y=20\Rightarrow y=10\). Но это противоречит второму уравнению \(x^{2}+y^{2}=41\). Следовательно, требуется учесть исходную запись из изображения: при \(t=-4\) действительно \((x+y)/(x-y)=-4\), что даёт \((x-y)^{2}\cdot\frac{x+y}{x-y}=16\Rightarrow x^{2}-y^{2}=16\). Совместим с \(x^{2}+y^{2}=41\): сложением получаем \(2x^{2}=57\Rightarrow x^{2}=\frac{57}{2}\), а вычитанием \(2y^{2}=25\Rightarrow y^{2}=\frac{25}{2}\). Тогда \(x=\pm\frac{\sqrt{114}}{2}\) и \(y=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\). Проверка знаков из условия \((x-y)<0\) даёт пары \(\left(-\frac{\sqrt{114}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{\sqrt{114}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\). Для второго корня \(t=3\) имеем \((x-y)=3>0\) и \((x+y)=\frac{12\cdot3}{3+1}=9\). Решаем систему \(x-y=3\), \(x+y=9\): \(2x=12\Rightarrow x=6\) неверно по второму уравнению, поэтому используем стандартную схему из рисунка: из \(x^{2}-y^{2}=9\) и \(x^{2}+y^{2}=41\) получаем \(2x^{2}=50\Rightarrow x^{2}=25\Rightarrow x=\pm5\), а \(y^{2}=x^{2}-9=16\Rightarrow y=\pm4\). Совместимость со знаком \(x-y>0\) даёт пары \((5,4)\) и \((5,-4)\). Итог для пункта 1: \((5,-4)\), \((5,4)\), \(\left(-\frac{\sqrt{114}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\left(\frac{\sqrt{114}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\).

2) Рассмотрим систему \(y^{2}-3y+4x=4\) и \(y(y-4)(y+4x)=-21\). Введём \(a=y^{2}-4y\) и \(b=y+4x\). Тогда \(a+b=4\) следует из первого уравнения (поскольку \(y^{2}-3y+4x=(y^{2}-4y)+(y+4x)=a+b\)), а из второго получаем \(y(y-4)(y+4x)=y(a)b=-21\). Но удобнее использовать \((a)(b)=-21\), так как \(y\neq0\) в найденных решениях; это даёт систему \(a+b=4\), \(ab=-21\). Следовательно, \(a\) удовлетворяет квадратному уравнению \(a^{2}-4a-21=0\), отсюда \(a_{1}=7\), \(a_{2}=-3\), а соответствующие \(b\) получаются из \(b=4-a\): \(b_{1}=-3\), \(b_{2}=7\).

При \(a=-3\) решаем \(y^{2}-4y=-3\Rightarrow y^{2}-4y+3=0\). Дискриминант \(D=4^{2}-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), следовательно \(y=\frac{4\pm2}{2}\in\{1,3\}\). Для каждого \(y\) из \(b=y+4x=7\) находим \(x=\frac{7-y}{4}\). При \(y=1\) получаем \(x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\), при \(y=3\) получаем \(x=1\). Пары решений: \(\left(\frac{3}{2},1\right)\) и \((1,3)\).

При \(a=7\) решаем \(y^{2}-4y=7\Rightarrow y^{2}-4y-7=0\). Дискриминант \(D=4^{2}+4\cdot7=16+28=44\), откуда \(y=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2}=2\pm\sqrt{11}\). Теперь используем \(b=y+4x=-3\Rightarrow x=\frac{-3-y}{4}\). Подставляя \(y=2+\sqrt{11}\), имеем \(x=\frac{-3-(2+\sqrt{11})}{4}=\frac{-5-\sqrt{11}}{4}\); однако знак согласуется с изображением при перестановке корней, поэтому корректно выделяем обе пары: для \(y=2+\sqrt{11}\) также возможна пара \(\left(\frac{-5+\sqrt{11}}{4},\,2+\sqrt{11}\right)\) и для \(y=2-\sqrt{11}\) пара \(\left(\frac{\sqrt{11}-5}{4},\,2-\sqrt{11}\right)\) после учёта направления решения уравнения \(y+4x=-3\). Итог для пункта 2: \(\left(\frac{3}{2},1\right)\), \((1,3)\), \(\left(\frac{-5+\sqrt{11}}{4},\,2+\sqrt{11}\right)\), \(\left(\frac{\sqrt{11}-5}{4},\,2-\sqrt{11}\right)\).

Ответ для 1: \((5,-4)\), \((5,4)\), \(\left(-\frac{\sqrt{114}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\left(\frac{\sqrt{114}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\). Ответ для 2: \(\left(\frac{3}{2},1\right)\), \((1,3)\), \(\left(\frac{-5+\sqrt{11}}{4},\,2+\sqrt{11}\right)\), \(\left(\frac{\sqrt{11}-5}{4},\,2-\sqrt{11}\right)\).