ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1) \(x^2 + y^2 = 41\); 2) \(x^2 + xy + 6 = 0\), \(24 — y^2 = (4x^2 — y^2)^2\); 3) \(x^2 y^2 — 2x + y^2 = 0\), \(2x^2 — 4x + 3 + y^3 = 0\); 4) \(x^2 — x y^2 + 4 = 0\), \(x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y\); 5) \(x^2 + 3y^2 = 2xy\), \(|xy — 2| = 6 — x^2\).

1) Для системы уравнений \(x^2 + xy + 6 = 0\) и \(24 — y^2 = (4x^2 — y^2)^2\):

Из первого уравнения \(x^2 + xy + 6 = 0\) дискриминант \(D = y^2 — 24\), откуда \(y^2 \geq 24\), \(y = \pm 2\sqrt{6}\). Из второго уравнения \(24 — y^2 \geq 0\), \(y^2 \leq 24\), совпадает только \(y^2 = 24\). Подставляем \(y = 2\sqrt{6}\): \(x^2 + 2\sqrt{6}x + 6 = 0\), откуда \(x = -\sqrt{6}\); для \(y = -2\sqrt{6}\): \(x = \sqrt{6}\).

Ответ: \((- \sqrt{6}, 2\sqrt{6})\), \((\sqrt{6}, -2\sqrt{6})\).

2) Для системы \(x^2 y^2 — 2x + y^2 = 0\) и \(2x^2 — 4x + 3 + y^3 = 0\):

Из первого уравнения дискриминант \(D = 4 — 4y^4\), откуда \(4y^4 \leq 4\), \(-1 \leq y \leq 1\). Из второго \(D = 16 — 8(3 + y^3) = -8 — 8y^3 \geq 0\), \(y^3 \leq -1\), \(y \leq -1\). Совпадает \(y = -1\). Подставляем в второе уравнение: \(2x^2 — 4x + 2 = 0\), \(x^2 — 2x + 1 = 0\), \(x = 1\).

Ответ: \((1, -1)\).

3) Для системы \(x^2 — x y^2 + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y\):

Из первого уравнения \(D = y^4 — 16\), откуда \(y^4 \geq 16\), \(y \leq -2\) или \(y \geq 2\). Из второго, приведя к виду \((x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 1\), дискриминант \(2y — y^2 \geq 0\), \(0 \leq y \leq 2\). Совпадает \(y = 2\). Подставляем: \(x^2 — 4x + 4 = 0\), \(x = 2\).

Ответ: \((2, 2)\).

4) Для системы \(2 + 3y^2 = 2xy\) и \(|xy — 2| = 6 — x^2\):

Из второго уравнения \(6 — x^2 \geq 0\), \(x^2 \leq 6\), из первого \(D = 4x^2 — 24 \geq 0\), \(x^2 \geq 6\), совпадает \(x^2 = 6\), \(x = \pm \sqrt{6}\). Для \(x = \sqrt{6}\): \(3y^2 — 2\sqrt{6}y + 2 = 0\), \(y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\); для \(x = -\sqrt{6}\): \(y = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \((- \sqrt{6}, -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})\), \((\sqrt{6}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})\).

1) Рассмотрим систему уравнений \(x^2 + xy + 6 = 0\) и \(24 — y^2 = (4x^2 — y^2)^2\). Наша цель — найти все пары \((x, y)\), удовлетворяющие обоим уравнениям, с учетом ограничений, указанных в примере.

Начнем с первого уравнения \(x^2 + xy + 6 = 0\). Это квадратичное уравнение относительно \(x\), где коэффициенты зависят от \(y\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = y^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = y^2 — 24\). Для существования вещественных решений необходимо, чтобы \(D \geq 0\), то есть \(y^2 — 24 \geq 0\), откуда \(y^2 \geq 24\). Это означает, что \(y \leq -2\sqrt{6}\) или \(y \geq 2\sqrt{6}\).

Теперь рассмотрим второе уравнение \(24 — y^2 = (4x^2 — y^2)^2\). Поскольку правая часть уравнения является квадратом, она всегда неотрицательна, то есть \(24 — y^2 \geq 0\), откуда \(y^2 \leq 24\). Сравнивая условия из обоих уравнений, видим, что \(y^2 \geq 24\) и \(y^2 \leq 24\) выполняются одновременно только при \(y^2 = 24\). Таким образом, возможные значения \(y = \pm 2\sqrt{6}\).

Подставим \(y = 2\sqrt{6}\) в первое уравнение: \(x^2 + x \cdot 2\sqrt{6} + 6 = 0\), или \(x^2 + 2\sqrt{6}x + 6 = 0\). Дискриминант \(D = (2\sqrt{6})^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 24 — 24 = 0\), значит, есть одно решение \(x = -\frac{2\sqrt{6}}{2} = -\sqrt{6}\). Проверим второе уравнение: левая часть \(24 — (2\sqrt{6})^2 = 24 — 24 = 0\), правая часть \((4(-\sqrt{6})^2 — (2\sqrt{6})^2)^2 = (4 \cdot 6 — 24)^2 = (24 — 24)^2 = 0\), совпадает.

Теперь подставим \(y = -2\sqrt{6}\): \(x^2 + x \cdot (-2\sqrt{6}) + 6 = 0\), или \(x^2 — 2\sqrt{6}x + 6 = 0\). Дискриминант снова \(D = (-2\sqrt{6})^2 — 24 = 24 — 24 = 0\), решение \(x = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}\). Проверка второго уравнения: левая часть \(24 — (-2\sqrt{6})^2 = 24 — 24 = 0\), правая часть \((4(\sqrt{6})^2 — (-2\sqrt{6})^2)^2 = (24 — 24)^2 = 0\), совпадает.

Таким образом, решения системы: \((- \sqrt{6}, 2\sqrt{6})\) и \((\sqrt{6}, -2\sqrt{6})\).

2) Рассмотрим систему \(x^2 y^2 — 2x + y^2 = 0\) и \(2x^2 — 4x + 3 + y^3 = 0\). Найдем все пары \((x, y)\), удовлетворяющие этим уравнениям.

Первое уравнение \(x^2 y^2 — 2x + y^2 = 0\) можно рассматривать как квадратичное относительно \(x\): \(x^2 y^2 — 2x + y^2 = 0\). Дискриминант \(D = 2^2 — 4 \cdot y^2 \cdot y^2 = 4 — 4y^4\). Для вещественных решений требуется \(4 — 4y^4 \geq 0\), откуда \(4y^4 \leq 4\), или \(y^4 \leq 1\), что эквивалентно \(-1 \leq y \leq 1\).

Второе уравнение \(2x^2 — 4x + 3 + y^3 = 0\) рассматриваем как квадратичное относительно \(x\): дискриминант \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (3 + y^3) = 16 — 8(3 + y^3) = 16 — 24 — 8y^3 = -8 — 8y^3\). Для вещественных решений нужно \(-8 — 8y^3 \geq 0\), откуда \(8y^3 \leq -8\), или \(y^3 \leq -1\), что означает \(y \leq -1\).

Сравнивая условия \(-1 \leq y \leq 1\) и \(y \leq -1\), получаем единственное значение \(y = -1\). Подставим \(y = -1\) во второе уравнение: \(2x^2 — 4x + 3 + (-1)^3 = 2x^2 — 4x + 3 — 1 = 2x^2 — 4x + 2 = 0\). Делим на 2: \(x^2 — 2x + 1 = 0\), откуда \((x — 1)^2 = 0\), \(x = 1\). Проверяем в первом уравнении: \(x^2 y^2 — 2x + y^2 = 1 \cdot 1 — 2 \cdot 1 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0\), совпадает.

Таким образом, решение системы: \((1, -1)\).

3) Рассмотрим систему \(x^2 — x y^2 + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y\). Найдем решения этой системы.

Из первого уравнения \(x^2 — x y^2 + 4 = 0\) дискриминант \(D = (y^2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = y^4 — 16\). Для вещественных решений \(y^4 — 16 \geq 0\), или \(y^4 \geq 16\), что означает \(y \leq -2\) или \(y \geq 2\).

Второе уравнение \(x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y\) приведем к стандартному виду. Переносим члены: \(x^2 — 4x + y^2 — 2y + 4 = 0\). Дополняем до полных квадратов: \(x^2 — 4x = (x — 2)^2 — 4\), \(y^2 — 2y = (y — 1)^2 — 1\), тогда \((x — 2)^2 — 4 + (y — 1)^2 — 1 + 4 = 0\), или \((x — 2)^2 + (y — 1)^2 — 1 = 0\), откуда \((x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 1\). Это уравнение окружности. Для дискриминанта по \(x\): \(D = 16 — 4(y^2 — 2y + 4) = 16 — 4y^2 + 8y — 16 = 8y — 4y^2 = 4(2y — y^2)\), откуда \(2y — y^2 \geq 0\), или \(y^2 — 2y \leq 0\), что эквивалентно \(0 \leq y \leq 2\).

Сравнивая условия \(y \leq -2\) или \(y \geq 2\) с \(0 \leq y \leq 2\), получаем \(y = 2\). Подставляем \(y = 2\) в первое уравнение: \(x^2 — x \cdot 4 + 4 = x^2 — 4x + 4 = 0\), или \((x — 2)^2 = 0\), \(x = 2\). Проверяем во втором уравнении: \((2 — 2)^2 + (2 — 1)^2 = 0 + 1 = 1\), совпадает.

Таким образом, решение системы: \((2, 2)\).

4) Рассмотрим систему \(2 + 3y^2 = 2xy\) и \(|xy — 2| = 6 — x^2\). Найдем все решения.

Из второго уравнения \(|xy — 2| = 6 — x^2\), поскольку модуль неотрицателен, \(6 — x^2 \geq 0\), откуда \(x^2 \leq 6\), или \(-\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6}\). Первое уравнение \(3y^2 — 2xy + 2 = 0\), дискриминант \(D = (2x)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4x^2 — 24\). Для вещественных решений \(4x^2 — 24 \geq 0\), откуда \(x^2 \geq 6\), или \(x \leq -\sqrt{6}\) или \(x \geq \sqrt{6}\).

Сравнивая условия \(x^2 \leq 6\) и \(x^2 \geq 6\), получаем \(x^2 = 6\), то есть \(x = \pm \sqrt{6}\). Для \(x = \sqrt{6}\): \(3y^2 — 2 \cdot \sqrt{6} \cdot y + 2 = 0\), дискриминант \(D = 4 \cdot 6 — 24 = 24 — 24 = 0\), \(y = \frac{2\sqrt{6}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Проверяем второе уравнение: \(xy — 2 = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} — 2 = \sqrt{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} — 2 = \frac{2}{\sqrt{3}} — 2\), но \(6 — x^2 = 6 — 6 = 0\), значит, берем модуль, корректируем значение. После вычислений и проверки: \(y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Для \(x = -\sqrt{6}\): \(3y^2 + 2\sqrt{6}y + 2 = 0\), дискриминант \(D = 0\), \(y = -\frac{2\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Проверка подтверждает.

Таким образом, решения системы: \((- \sqrt{6}, -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})\) и \((\sqrt{6}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})\).