ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1) \(y^2 — xy + 1 = 0\), \(x^2 + 2x = -y^2 — 2y — 1\); 2) \(x^2 + 4xy + 4y^4 = 0\), \(x^2 — 4x + 6 — 2y^6 = 0\).

Первая система уравнений:
Из первого уравнения \(y^2 — xy + 1 = 0\) находим дискриминант \(D = x^2 — 4\), откуда \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\). Из второго уравнения \(x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0\) получаем \(D = -4(x^2 + 2x)\), откуда \(-2 \leq x \leq 0\). Пересечение условий дает \(x = -2\). Подставляем в первое уравнение: \(y^2 + 2y + 1 = 0\), откуда \(y = -1\). Ответ: \((-2, -1)\).

Вторая система уравнений:
Из первого уравнения \(x^2 + 4xy + 4y^4 = 0\) дискриминант \(D = 16y^2 — 16y^4\), откуда \(-1 \leq y \leq 1\). Из второго уравнения \(x^2 — 4x + 6 — 2y^6 = 0\) получаем \(D = 4(2y^6 — 2)\), откуда \(y \leq -1\) или \(y \geq 1\). Пересечение условий дает \(y = -1\) или \(y = 1\). Подставляем \(y = -1\) во второе уравнение: \(x^2 — 4x + 4 = 0\), откуда \(x = 2\). Проверка показывает, что пара \(x = 2\), \(y = -1\) удовлетворяет обоим уравнениям. Ответ: \((2, -1)\).

1) Рассмотрим систему уравнений:
Первое уравнение \(y^2 — xy + 1 = 0\), второе уравнение \(x^2 + 2x = -y^2 — 2y — 1\). Начнем с анализа первого уравнения. Решаем его как квадратное уравнение относительно \(y\): \(y^2 — xy + 1 = 0\). Дискриминант \(D = x^2 — 4\). Для существования действительных решений необходимо, чтобы \(D \geq 0\), то есть \(x^2 — 4 \geq 0\), откуда \(x^2 \geq 4\). Это означает, что \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\).

Теперь обратимся ко второму уравнению. Приведем его к более удобному виду, перенеся все члены в одну сторону: \(x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0\). Заметим, что \(y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2\), а \(x^2 + 2x = x(x + 2)\), но для анализа дискриминанта рассмотрим уравнение как квадратное относительно \(y\): \(y^2 + 2y + (x^2 + 2x + 1) = 0\). Дискриминант \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (x^2 + 2x + 1) = 4 — 4(x^2 + 2x + 1) = 4 — 4x^2 — 8x — 4=\)
\( = -4x^2 — 8x = -4x(x + 2)\). Для действительных решений требуется \(D \geq 0\), то есть \(-4x(x + 2) \geq 0\). Делим на \(-4\) (знак неравенства меняется): \(x(x + 2) \leq 0\). Решаем это неравенство: корни \(x = 0\) и \(x = -2\), парабола направлена вверх, значит, \(x(x + 2) \leq 0\) при \(-2 \leq x \leq 0\).

Сравниваем условия на \(x\) из обоих уравнений. Из первого: \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\), из второго: \(-2 \leq x \leq 0\). Пересечение этих множеств дает \(x = -2\). Подставим \(x = -2\) в первое уравнение: \(y^2 — (-2)y + 1 = 0\), то есть \(y^2 + 2y + 1 = 0\). Это уравнение преобразуется в \((y + 1)^2 = 0\), откуда \(y = -1\). Проверим решение \(x = -2\), \(y = -1\) во втором уравнении: \(x^2 + 2x = 4 — 4 = 0\), а \(-y^2 — 2y — 1 = -1 + 2 — 1 = 0\), равенство выполняется. Таким образом, решение системы: \((-2, -1)\).

2) Рассмотрим вторую систему уравнений:
Первое уравнение \(x^2 + 4xy + 4y^4 = 0\), второе уравнение \(x^2 — 4x + 6 — 2y^6 = 0\). Начнем с первого уравнения. Рассмотрим его как квадратное относительно \(x\): \(x^2 + 4y x + 4y^4 = 0\). Дискриминант \(D = (4y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4y^4 = 16y^2 — 16y^4 = 16y^2(1 — y^2)\). Для действительных решений \(D \geq 0\), то есть \(16y^2(1 — y^2) \geq 0\). Поскольку \(16y^2 \geq 0\), то \(1 — y^2 \geq 0\), откуда \(y^2 \leq 1\), то есть \(-1 \leq y \leq 1\).

Перейдем ко второму уравнению: \(x^2 — 4x + 6 — 2y^6 = 0\). Рассмотрим его как квадратное относительно \(x\): \(x^2 — 4x + (6 — 2y^6) = 0\). Дискриминант \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (6 — 2y^6) = 16 — 24 + 8y^6 = 8y^6 — 8 = 8(y^6 — 1)\). Для действительных решений \(D \geq 0\), то есть \(8(y^6 — 1) \geq 0\), откуда \(y^6 — 1 \geq 0\), то есть \(y^6 \geq 1\). Поскольку \(y^6 = (y^2)^3\), а функция \(y^6\) возрастает на \((-\infty, 0)\) и \((0, \infty)\), то \(y^6 \geq 1\) при \(y \leq -1\) или \(y \geq 1\).

Сравниваем условия на \(y\) из обоих уравнений. Из первого: \(-1 \leq y \leq 1\), из второго: \(y \leq -1\) или \(y \geq 1\). Пересечение дает \(y = -1\) или \(y = 1\). Рассмотрим оба случая. Сначала \(y = -1\). Подставим во второе уравнение: \(x^2 — 4x + 6 — 2(-1)^6 = x^2 — 4x + 6 — 2 = x^2 — 4x + 4 = 0\). Это \((x — 2)^2 = 0\), откуда \(x = 2\). Проверим в первом уравнении: \(x^2 + 4xy + 4y^4 = 4 + 4 \cdot 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 = 4 — 8 + 4 = 0\), выполняется. Теперь \(y = 1\). Подставим во второе уравнение: \(x^2 — 4x + 6 — 2(1)^6 = x^2 — 4x + 4 = 0\), откуда \(x = 2\). Проверим в первом уравнении: \(4 + 4 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 4 + 8 + 4 = 16 \neq 0\), не выполняется. Таким образом, подходит только пара \(x = 2\), \(y = -1\). Ответ: \((2, -1)\).