ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1) \(y^2 — x^2 + 4x — 5 = 0\), \(1 — y^2 + x^2 = 4\).

Первая система уравнений:
Из первого уравнения \( y^2 = x^2 — 4x + 5 \), что можно переписать как \( y^2 = (x-2)^2 + 1 \), откуда \( y^2 \geq 1 \). Из второго уравнения \( \sqrt{1 — y^2} + x^2 = 4 \) следует, что \( 1 — y^2 \geq 0 \), то есть \( y^2 \leq 1 \). Сравнивая условия, получаем \( y^2 = 1 \), значит \( y = \pm 1 \). Подставляя в \( x^2 = 4 \), находим \( x = \pm 2 \). Проверка показывает, что подходит только \( x = 2 \), \( y = \pm 1 \).
Ответ: \( (2, 1) \), \( (2, -1) \).

Вторая система уравнений:
Из второго уравнения \( x + 8y = x — y — 9 \) упрощаем до \( x — y = 9 \), откуда \( y = x — 9 \). Из первого уравнения \( (y + 1)^2 = 3 — \sqrt{x — y} \) следует, что \( x — y \leq 9 \), но из второго уравнения \( x — y = 9 \). Подставляем \( y = x — 9 \) в первое уравнение, решаем и находим \( x = 8 \), \( y = -1 \). Проверка подтверждает правильность.
Ответ: \( (8, -1) \).

1) Рассмотрим первую систему уравнений: \( y^2 — x^2 + 4x — 5 = 0 \) и \( \sqrt{1 — y^2} + x^2 = 4 \). Наша цель — найти все пары \( (x, y) \), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Начнем с первого уравнения. Перепишем его, чтобы выразить \( y^2 \): \( y^2 = x^2 — 4x + 5 \). Попробуем преобразовать правую часть в более удобный вид. Заметим, что \( x^2 — 4x + 5 = (x^2 — 4x + 4) + 1 = (x — 2)^2 + 1 \). Таким образом, \( y^2 = (x — 2)^2 + 1 \). Поскольку \( (x — 2)^2 \geq 0 \), то \( y^2 \geq 1 \), а значит, \( y \leq -1 \) или \( y \geq 1 \).

Теперь обратимся ко второму уравнению: \( \sqrt{1 — y^2} + x^2 = 4 \). Для существования квадратного корня необходимо, чтобы \( 1 — y^2 \geq 0 \), то есть \( y^2 \leq 1 \), а значит, \( -1 \leq y \leq 1 \). Сравнивая условия на \( y \) из обоих уравнений (\( y^2 \geq 1 \) и \( y^2 \leq 1 \)), заключаем, что \( y^2 = 1 \), откуда \( y = 1 \) или \( y = -1 \).

Подставим \( y^2 = 1 \) во второе уравнение. Получаем \( \sqrt{1 — 1} + x^2 = 4 \), то есть \( 0 + x^2 = 4 \), откуда \( x^2 = 4 \), а значит, \( x = 2 \) или \( x = -2 \). Теперь проверим эти значения с учетом первого уравнения. Для \( x = 2 \): \( y^2 = (2 — 2)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \), что совпадает с \( y^2 = 1 \), то есть \( y = \pm 1 \). Для \( x = -2 \): \( y^2 = (-2 — 2)^2 + 1 = 16 + 1 = 17 \), что не равно 1, поэтому \( x = -2 \) не подходит.

Проверим полученные пары \( (2, 1) \) и \( (2, -1) \) во втором уравнении. Для \( x = 2 \), \( y = 1 \): \( \sqrt{1 — 1^2} + 2^2 = 0 + 4 = 4 \), что верно. Для \( x = 2 \), \( y = -1 \): \( \sqrt{1 — (-1)^2} + 2^2 = 0 + 4 = 4 \), что также верно. Таким образом, оба решения подходят.

Ответ для первой системы: \( (2, 1) \), \( (2, -1) \).

2) Перейдем ко второй системе уравнений: \( (y + 1)^2 = 3 — \sqrt{x — y} \) и \( x + 8y = x — y — 9 \). Наша цель — найти все пары \( (x, y) \), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Начнем со второго уравнения, так как оно выглядит проще. Упростим его: \( x + 8y = x — y — 9 \). Вычтем \( x \) из обеих сторон: \( 8y = -y — 9 \). Сложим \( y \) к обеим сторонам: \( 9y = -9 \), откуда \( y = -1 \). Теперь, поскольку \( y = -1 \), подставим это значение в выражение \( x — y \). Получаем \( x — y = x — (-1) = x + 1 \).

Перейдем к первому уравнению: \( (y + 1)^2 = 3 — \sqrt{x — y} \). Подставим \( y = -1 \): \( (-1 + 1)^2 = 3 — \sqrt{x — (-1)} \), то есть \( 0 = 3 — \sqrt{x + 1} \). Отсюда \( \sqrt{x + 1} = 3 \). Возведем обе стороны в квадрат: \( x + 1 = 9 \), откуда \( x = 8 \).

Проверим условие существования квадратного корня в первом уравнении. Поскольку \( \sqrt{x — y} \) должен быть определен, то \( x — y \geq 0 \). При \( x = 8 \), \( y = -1 \): \( 8 — (-1) = 9 \geq 0 \), что выполняется. Также проверим первое уравнение: \( (y + 1)^2 = (-1 + 1)^2 = 0 \), а правая часть \( 3 — \sqrt{8 — (-1)} = 3 — \sqrt{9} = 3 — 3 = 0 \), что совпадает. Второе уравнение: \( x + 8y = 8 + 8*(-1) = 8 — 8 = 0 \), и \( x — y — 9 = 8 — (-1) — 9 = 8 + 1 — 9 = 0 \), что также верно.

Ответ для второй системы: \( (8, -1) \).