ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: 1) \(x^2 — y^2 + 6y — 13 = 0\), \(\sqrt{4 — x^2} + 12 = 9\); 2) \(3 — (y + 1)^2 = \sqrt{x — y}\), \(x + 8y = x — y — 9\); 3) \(1 — (x — 3)^2 = \sqrt{x — y}\), \(y^2 — 4 = \sqrt{x — y} — 1\).

Первая система уравнений: \(x^2 — y^2 + 6y — 13 = 0\) и \(\sqrt{4 — x^2} + y^2 = 9\).

Из первого уравнения: \(x^2 = y^2 — 6y + 13\), что можно переписать как \(x^2 = (y — 3)^2 + 4\), откуда \(x^2 \geq 4\). Из второго уравнения: \(4 — x^2 \geq 0\), то есть \(x^2 \leq 4\). Следовательно, \(x^2 = 4\), \(x = \pm 2\). Подставляя \(x = \pm 2\) во второе уравнение, получаем \(y^2 = 9\), \(y = \pm 3\). Проверка показывает, что подходят точки \((-2, 3)\) и \((2, 3)\).

Ответ: \((-2, 3)\), \((2, 3)\).

Вторая система уравнений: \(1 — (x — 3)^2 = \sqrt{x — y}\) и \(y^2 — 4 = \sqrt{x — y — 1}\).

Из первого уравнения: \(1 — (x — 3)^2 \geq 0\), откуда \(x — y \leq 1\). Из второго: \(x — y — 1 \geq 0\), то есть \(x — y \geq 1\). Следовательно, \(x — y = 1\), \(x = y + 1\). Подставляя во второе уравнение, получаем \(y^2 — 4 = 0\), \(y = \pm 2\). Тогда \(x_1 = -2 + 1 = -1\), \(x_2 = 2 + 1 = 3\). Проверка показывает, что подходит только точка \((3, 2)\).

Ответ: \((3, 2)\).

1) Рассмотрим систему уравнений: \(x^2 — y^2 + 6y — 13 = 0\) и \(\sqrt{4 — x^2} + y^2 = 9\). Наша цель — найти все пары \((x, y)\), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Начнем с первого уравнения: \(x^2 — y^2 + 6y — 13 = 0\). Выразим \(x^2\) через \(y\). Для этого преобразуем выражение: \(x^2 = y^2 — 6y + 13\). Чтобы упростить, выделим полный квадрат для \(y\): \(y^2 — 6y = (y — 3)^2 — 9\), тогда \(x^2 = (y — 3)^2 — 9 + 13 = (y — 3)^2 + 4\). Таким образом, \(x^2 = (y — 3)^2 + 4\), откуда следует, что \(x^2 \geq 4\), так как \((y — 3)^2 \geq 0\).

Теперь обратимся ко второму уравнению: \(\sqrt{4 — x^2} + y^2 = 9\). Поскольку \(\sqrt{4 — x^2}\) определена только при \(4 — x^2 \geq 0\), получаем \(x^2 \leq 4\). С учетом ограничения из первого уравнения \(x^2 \geq 4\), заключаем, что \(x^2 = 4\), то есть \(x = \pm 2\).

Подставим значения \(x\) во второе уравнение. Сначала для \(x = 2\): \(\sqrt{4 — 2^2} + y^2 = \sqrt{4 — 4} + y^2 = 0 + y^2 = 9\), откуда \(y^2 = 9\), \(y = \pm 3\). Для \(x = -2\): \(\sqrt{4 — (-2)^2} + y^2 = \sqrt{4 — 4} + y^2 = 0 + y^2 = 9\), опять \(y^2 = 9\), \(y = \pm 3\).

Проверим все возможные пары в первом уравнении. Для \(x = 2, y = 3\): \(2^2 — 3^2 + 6 \cdot 3 — 13 = 4 — 9 + 18 — 13 = 0\), выполнено. Для \(x = 2, y = -3\): \(4 — 9 + 6 \cdot (-3) — 13 = 4 — 9 — 18 — 13 = -36 \neq 0\), не подходит. Для \(x = -2, y = 3\): \(4 — 9 + 18 — 13 = 0\), выполнено. Для \(x = -2, y = -3\): \(4 — 9 — 18 — 13 = -36 \neq 0\), не подходит.

Таким образом, решения системы: \((-2, 3)\) и \((2, 3)\). Ответ: \((-2, 3)\), \((2, 3)\).

2) Рассмотрим вторую систему уравнений: \(1 — (x — 3)^2 = \sqrt{x — y}\) и \(y^2 — 4 = \sqrt{x — y — 1}\). Нужно найти пары \((x, y)\), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Из первого уравнения: \(1 — (x — 3)^2 = \sqrt{x — y}\). Поскольку квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, \(x — y \geq 0\), а левая часть уравнения \(1 — (x — 3)^2 \geq 0\), откуда \((x — 3)^2 \leq 1\), то есть \(|x — 3| \leq 1\), \(2 \leq x \leq 4\). Также \(x — y \leq (1 — (x — 3)^2)^2\), но сначала рассмотрим второе уравнение.

Второе уравнение: \(y^2 — 4 = \sqrt{x — y — 1}\). Здесь тоже требуется \(x — y — 1 \geq 0\), то есть \(x — y \geq 1\). С учетом \(x — y \geq 0\) из первого уравнения, получаем \(x — y \geq 1\). Поскольку правая часть уравнения неотрицательна, \(y^2 — 4 \geq 0\), откуда \(|y| \geq 2\), \(y \leq -2\) или \(y \geq 2\).

Обозначим \(t = x — y\), тогда \(t \geq 1\). Первое уравнение: \(1 — (x — 3)^2 = \sqrt{t}\), второе: \(y^2 — 4 = \sqrt{t — 1}\). Так как \(x = y + t\), подставим в первое уравнение: \(1 — (y + t — 3)^2 = \sqrt{t}\). Это сложно, поэтому вернемся к ограничению \(x — y \geq 1\) и предположим, что \(x — y = 1\), так как это минимальное значение, которое удовлетворяет условию.

Пусть \(x = y + 1\). Подставим во второе уравнение: \(y^2 — 4 = \sqrt{(y + 1) — y — 1} = \sqrt{0} = 0\), откуда \(y^2 — 4 = 0\), \(y^2 = 4\), \(y = \pm 2\). Тогда для \(y = 2\), \(x = 2 + 1 = 3\); для \(y = -2\), \(x = -2 + 1 = -1\). Проверим в первом уравнении.

Для \(x = 3, y = 2\): \(1 — (3 — 3)^2 = 1 — 0 = 1\), \(\sqrt{3 — 2} = \sqrt{1} = 1\), выполнено. Для \(x = -1, y = -2\): \(1 — (-1 — 3)^2 = 1 — 16 = -15\), \(\sqrt{-1 — (-2)} = \sqrt{1} = 1\), \(-15 \neq 1\), не подходит.

Таким образом, единственное решение: \((3, 2)\). Ответ: \((3, 2)\).