ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \( a \), при которых система уравнений имеет единственное решение.

Для нахождения значений параметра \( a \), при которых система уравнений имеет единственное решение, рассмотрим условие симметрии: если точка \( (x_0, y_0) \) является решением, то и \( (y_0, x_0) \) тоже должно быть решением. Это означает, что единственное решение возможно, если \( x_0 = y_0 \).

Система уравнений:
\( x^2 — (2a + 1)x + a^2 — 3 = y \),
\( y^2 — (2a + 1)y + a^2 — 3 = x \).

Подставим \( y = x \) в первое уравнение, получим: \( x^2 — (2a + 1)x + a^2 — 3 = x \), что приводит к \( x^2 — (2a + 2)x + a^2 — 3 = 0 \). Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю: \( D = (2a + 2)^2 — 4(a^2 — 3) = 4a^2 + 8a + 4 — 4a^2 + 12 = 8a + 16 \). Решаем \( 8a + 16 = 0 \), откуда \( a = -2 \).

Проверка при \( a = -2 \): система принимает вид \( x^2 + 3x + 1 = y \), \( y^2 + 3y + 1 = x \). Подставим \( y = x \), получим \( x^2 + 2x + 1 = 0 \), или \( (x + 1)^2 = 0 \), откуда \( x = -1 \), \( y = -1 \). Вторая ветвь \( y = -x — 4 \) дает уравнение с отрицательным дискриминантом, решений нет.

Таким образом, при \( a = -2 \) система имеет единственное решение \( (x, y) = (-1, -1) \).

1) Рассмотрим систему уравнений: \( x^2 — (2a + 1)x + a^2 — 3 = y \) и \( y^2 — (2a + 1)y + a^2 — 3 = x \). Условие задачи гласит, что если точка \( (x_0, y_0) \) является решением системы, то точка \( (y_0, x_0) \) также должна быть решением. Это свойство симметрии указывает на то, что система может иметь решения, где координаты точек могут быть связаны особым образом.

2) Для единственного решения системы предположим, что \( y_0 = x_0 \), так как в этом случае точка \( (x_0, y_0) \) совпадает с \( (y_0, x_0) \). Это означает, что система должна иметь ровно одно решение, где \( x = y \), и никаких других решений, не удовлетворяющих этому условию.

3) Подставим \( y = x \) в первое уравнение системы: \( x^2 — (2a + 1)x + a^2 — 3 = x \). Приведем это уравнение к стандартному виду: \( x^2 — (2a + 1)x + a^2 — 3 — x = 0 \), что равно \( x^2 — (2a + 2)x + a^2 — 3 = 0 \). Для того чтобы это квадратное уравнение имело единственное решение, его дискриминант должен быть равен нулю. Вычислим дискриминант: \( D = (2a + 2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^2 — 3) = 4a^2 + 8a + 4 — 4a^2 + 12 = 8a + 16 \).

4) Чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо \( D = 0 \), то есть \( 8a + 16 = 0 \). Решаем это уравнение: \( 8a = -16 \), откуда \( a = -2 \). Таким образом, при \( a = -2 \) уравнение \( x^2 — (2a + 2)x + a^2 — 3 = 0 \) должно иметь единственное решение для \( x \), что потенциально соответствует единственному решению системы при \( y = x \).

5) Выполним проверку для \( a = -2 \). Подставим это значение в систему уравнений. Первое уравнение становится: \( x^2 — (2 \cdot (-2) + 1)x + (-2)^2 — 3 = y \), что равно \( x^2 — (-4 + 1)x + 4 — 3 = y \), или \( x^2 + 3x + 1 = y \). Аналогично, второе уравнение: \( y^2 + 3y + 1 = x \). Таким образом, система принимает вид: \( y = x^2 + 3x + 1 \) и \( x = y^2 + 3y + 1 \). Вычтем второе уравнение из первого: \( y — x = (x^2 + 3x + 1) — (y^2 + 3y + 1) \), что равно \( y — x = x^2 — y^2 + 3x — 3y \). Преобразуем это как \( y — x = (x — y)(x + y) + 3(x — y) \), или \( y — x = (x — y)(x + y + 3) \). Умножим обе стороны на \(-1\): \( x — y = (y — x)(x + y + 3) \), откуда \( x — y = -(x — y)(x + y + 3) \). Это дает \( (x — y)(1 + x + y + 3) = 0 \), или \( (x — y)(x + y + 4) = 0 \). Таким образом, возможны два случая: \( x — y = 0 \), то есть \( y = x \), или \( x + y + 4 = 0 \), то есть \( y = -x — 4 \).

6) Рассмотрим первый случай \( y = x \). Подставим в первое уравнение: \( x = x^2 + 3x + 1 \), что равно \( x^2 + 3x + 1 — x = 0 \), или \( x^2 + 2x + 1 = 0 \), что является \( (x + 1)^2 = 0 \). Таким образом, \( x = -1 \), и поскольку \( y = x \), то \( y = -1 \). Получаем решение \( (x, y) = (-1, -1) \). Проверим его во второе уравнение: \( x = y^2 + 3y + 1 = (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 1 = 1 — 3 + 1 = -1 \), что совпадает. Значит, точка \( (-1, -1) \) является решением.

7) Рассмотрим второй случай \( y = -x — 4 \). Подставим в первое уравнение: \( -x — 4 = x^2 + 3x + 1 \), что равно \( x^2 + 3x + 1 + x + 4 = 0 \), или \( x^2 + 4x + 5 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4 \). Поскольку \( D < 0 \), решений в этом случае нет. Таким образом, единственное решение системы при \( a = -2 \) — это \( (x, y) = (-1, -1) \). Итог: значение параметра \( a = -2 \) обеспечивает единственное решение системы уравнений.