ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \( a \), при которых система уравнений \( a(x^4 + 1) = y + 1 — |x| \), \( x^2 + y^2 = 1 \) имеет единственное решение

Первое уравнение системы: \( a(x^4 + 1) = y + 1 — |x| \), второе уравнение: \( x^2 + y^2 = 1 \). Нужно найти значения параметра \( a \), при которых система имеет единственное решение.

Из условия симметрии следует, что если точка \( (x_0, y_0) \) является решением, то точка \( (-x_0, y_0) \) тоже должна быть решением. Это возможно только при \( x_0 = 0 \), так как \( x_0 = -x_0 \) выполняется только для \( x = 0 \).

Подставим \( x = 0 \) в систему. Из второго уравнения: \( 0 + y^2 = 1 \), откуда \( y = \pm 1 \). Из первого уравнения: \( a(0 + 1) = y + 1 — 0 \), то есть \( a = y + 1 \). Для \( y = 1 \): \( a = 2 \); для \( y = -1 \): \( a = 0 \).

Проверим \( a = 0 \): система становится \( y = |x| — 1 \) и \( x^2 + y^2 = 1 \). Подстановка дает \( x^2 + (|x| — 1)^2 = 1 \), что преобразуется в \( 2x^2 — 2|x| = 0 \), или \( 2|x|(|x| — 1) = 0 \). Решения: \( x = 0 \), \( x = \pm 1 \), что дает три точки, а не одну.

Проверим \( a = 2 \): система становится \( y = 2x^4 + |x| + 1 \) и \( x^2 + y^2 = 1 \). Так как \( y \geq 1 \) и \( y^2 \leq 1 \), то \( y = 1 \), откуда \( x = 0 \). Это дает единственное решение \( (0, 1) \).

Ответ: \( a = 2 \).

1) Рассмотрим систему уравнений: \( a(x^4 + 1) = y + 1 — |x| \) и \( x^2 + y^2 = 1 \). Нам нужно найти все значения параметра \( a \), при которых система имеет единственное решение. Заметим, что если точка \( (x_0, y_0) \) является решением системы, то точка \( (-x_0, y_0) \) также должна быть решением, так как уравнение \( a(x^4 + 1) = y + 1 — |x| \) не меняется при замене \( x \) на \( -x \), поскольку \( x^4 \) и \( |x| \) являются четными функциями, а второе уравнение \( x^2 + y^2 = 1 \) также симметрично относительно оси \( y \).

2) Это означает, что система может иметь единственное решение только в случае, если \( x_0 = -x_0 \), то есть \( x_0 = 0 \). Если \( x_0 \neq 0 \), то точек решения будет как минимум две: \( (x_0, y_0) \) и \( (-x_0, y_0) \), что противоречит условию единственности решения.

3) Подставим \( x = 0 \) в систему уравнений, чтобы найти возможные значения \( a \). Из второго уравнения \( x^2 + y^2 = 1 \) получаем \( 0 + y^2 = 1 \), откуда \( y = \pm 1 \). Теперь подставим \( x = 0 \) в первое уравнение: \( a(0^4 + 1) = y + 1 — |0| \), что упрощается до \( a \cdot 1 = y + 1 \), то есть \( a = y + 1 \). Для \( y = 1 \): \( a = 1 + 1 = 2 \); для \( y = -1 \): \( a = -1 + 1 = 0 \). Таким образом, возможные значения \( a \), при которых решение может быть единственным, это \( a = 0 \) и \( a = 2 \).

4) Проверим значение \( a = 0 \). При \( a = 0 \) первое уравнение принимает вид \( 0 \cdot (x^4 + 1) = y + 1 — |x| \), что упрощается до \( y = |x| — 1 \). Второе уравнение остается \( x^2 + y^2 = 1 \). Подставим \( y = |x| — 1 \) во второе уравнение: \( x^2 + (|x| — 1)^2 = 1 \). Раскроем скобки: \( (|x| — 1)^2 = |x|^2 — 2|x| + 1 = x^2 — 2|x| + 1 \), так как \( |x|^2 = x^2 \). Тогда \( x^2 + (x^2 — 2|x| + 1) = 1 \), что дает \( 2x^2 — 2|x| + 1 = 1 \), или \( 2x^2 — 2|x| = 0 \), то есть \( 2|x|(|x| — 1) = 0 \). Отсюда \( |x| = 0 \) или \( |x| = 1 \), что соответствует \( x = 0 \) или \( x = \pm 1 \). Найдем соответствующие \( y \): для \( x = 0 \), \( y = |0| — 1 = -1 \); для \( x = 1 \), \( y = |1| — 1 = 0 \); для \( x = -1 \), \( y = |-1| — 1 = 0 \). Таким образом, получаем три решения: \( (0, -1) \), \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \). Это больше одного решения, значит \( a = 0 \) не подходит.

5) Теперь проверим значение \( a = 2 \). При \( a = 2 \) первое уравнение становится \( 2(x^4 + 1) = y + 1 — |x| \), что можно переписать как \( y = 2x^4 + 2 — 1 + |x| = 2x^4 + |x| + 1 \). Второе уравнение остается \( x^2 + y^2 = 1 \). Заметим, что \( y = 2x^4 + |x| + 1 \geq 1 \), так как \( 2x^4 \geq 0 \), \( |x| \geq 0 \), и добавляется 1. С другой стороны, из \( x^2 + y^2 = 1 \) следует, что \( y^2 = 1 — x^2 \leq 1 \), значит \( y \leq 1 \) (так как \( y \geq 1 \), то \( y = 1 \)). Подставим \( y = 1 \) в выражение для \( y \): \( 1 = 2x^4 + |x| + 1 \), откуда \( 2x^4 + |x| = 0 \). Поскольку \( 2x^4 \geq 0 \) и \( |x| \geq 0 \), их сумма равна нулю только если оба слагаемых равны нулю, то есть \( x = 0 \). Тогда \( y = 2 \cdot 0^4 + |0| + 1 = 1 \). Проверяем второе уравнение: \( 0^2 + 1^2 = 1 \), что выполняется. Таким образом, единственное решение при \( a = 2 \) — это точка \( (0, 1) \).

Ответ: \( a = 2 \).