ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \( x^2 + y^2 = 1 \), \( x^5 + y^5 = 1 \);
2) \( y^3 — y^2 + y = x^2 \), \( x^3 — x^2 + x = y^2 \);
3) \( 2x = \frac{1 + x^2 — y}{2y} \), \( \frac{1 + y^2 = x}{2x^2} \), \( \frac{1 + x^2 — y}{2y^2} \), \( \frac{1 + y^2 — x}{2} \).

Для 1): Из \(x^2+y^2=1\) и \(x^5+y^5=1\) вычитаем: \((x^5-x^2)+(y^5-y^2)=0\). На отрезке \([-1,1]\) функция \(g(t)=t^5-t^2=t^2(t^3-1)\) неотрицательна только при \(t\in\{0,1\}\), иначе \(g(t)<0\). Следовательно, чтобы сумма была нулём, каждое слагаемое ноль: \(x,y\in\{0,1\}\). Из \(x^2+y^2=1\) получаем пары \((1,0)\) и \((0,1)\).

Для 2): Вычтем уравнения: \(y^3-y^2+y-(x^3-x^2+x)=x^2-y^2\), то есть \(y^3+y=x^3+x\). Так как \(f(t)=t^3+t\) строго возрастает, то \(y=x\). Подстановка даёт \(x^3-2x^2+x=0\), то есть \(x(x-1)^2=0\), откуда \((x,y)=(0,0)\) или \((1,1)\).

Для 3): Пусть \(f(t)=\frac{2t-1}{1+t^2}\). Имеем \(y=f(x)\) и \(x=f(y)\), значит \(x\) — неподвижная точка \(f\circ f\). Рассмотрим симметричные решения \(x=y\): тогда \(x=\frac{2x-1}{1+x^2}\), то есть \(x(1+x^2)=2x-1\), откуда \(x^3-x+1=0\). Это кубическое уравнение имеет ровно один действительный корень \(x\approx -1.3247\). Проверка даёт \(y=x\). Других решений нет, так как композиция сохраняет порядок, а уравнение для неподвижных точек эквивалентно указанному кубу.

Ответы: для 1) \((1,0),(0,1)\); для 2) \((0,0),(1,1)\); для 3) единственное \((x,y)\) с \(x=y\) и \(x^3-x+1=0\).

Для 1): Из условия \(x^2+y^2=1\) следует, что \(x,y\in[-1,1]\). Рассмотрим разность уравнений \(x^5+y^5-(x^2+y^2)=0\), получаем \((x^5-x^2)+(y^5-y^2)=0\). Введём \(g(t)=t^5-t^2=t^2(t^3-1)\). На отрезке \([-1,1]\) имеем: при \(t\in(-1,1)\setminus\{0,1\}\) верно \(t^2>0\) и \(t^3-1<0\), значит \(g(t)<0\); при \(t=0\) и \(t=1\) получаем \(g(t)=0\). Так как сумма двух не положительных величин равна нулю, каждая из них должна быть нулём, то есть \(x,y\in\{0,1\}\). Подстановка в \(x^2+y^2=1\) даёт \(x=1,y=0\) или \(x=0,y=1\), поскольку пары \((1,1)\) и \((0,0)\) дают суммы \(2\) и \(0\), не равные \(1\). Итак, решения первой системы: \((1,0)\) и \((0,1)\).

Для 2): Вычитаем уравнения \(y^3-y^2+y=x^2\) и \(x^3-x^2+x=y^2\): получаем \(y^3-y^2+y-(x^3-x^2+x)=x^2-y^2\), что упрощается до \(y^3+y=x^3+x\). Рассмотрим \(f(t)=t^3+t\). Производная \(f'(t)=3t^2+1>0\) для всех \(t\), значит \(f\) строго возрастает и биективна на \(\mathbb{R}\). Следовательно, из равенства \(f(y)=f(x)\) следует \(y=x\). Подставляя \(y=x\) во второе (или первое) уравнение, имеем \(x^3-x^2+x=x^2\), то есть \(x^3-2x^2+x=0\). Вынесем \(x\): \(x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2=0\). Тогда \(x=0\) или \(x=1\), и из \(y=x\) получаем \(y=0\) или \(y=1\). Проверка подстановкой подтверждает корректность обеих пар: \((0,0)\) удовлетворяет тривиально, \((1,1)\) даёт \(1-1+1=1\) в обеих строках. Следовательно, решения второй системы: \((0,0)\) и \((1,1)\).

Для 3): Пусть \(f(t)=\frac{2t-1}{1+t^2}\). Система равносильна \(y=f(x)\) и \(x=f(y)\), то есть \(x\) является неподвижной точкой композиции \(f\circ f\). Рассмотрим сначала симметричные решения \(x=y\). Тогда имеем уравнение неподвижной точки \(x=f(x)\), то есть \(x=\frac{2x-1}{1+x^2}\). Перемножая, получаем \(x(1+x^2)=2x-1\), то есть \(x^3-x+1=0\). Это кубическое уравнение имеет ровно один действительный корень, поскольку его производная \(3x^2-1\) обращается в нуль в двух точках, а значения многочлена в \(x=-1\) и \(x=0\) равны \(1\) и \(1\), а при больших отрицательных \(x\) многочлен отрицателен, что гарантирует единственный переход через нуль слева и отсутствие переходов справа; численно корень примерно \(x\approx -1.3247\), и тогда \(y=x\). Теперь покажем, что несамосопряжённых решений нет: так как \(f\) строго убывает на \(\mathbb{R}\) (числитель линейный, знаменатель положителен, производная имеет знак минус для всех \(t\)), композиция \(f\circ f\) строго возрастает, и уравнение \(x=f(f(x))\) имеет не более одного решения на каждом промежутке монотонности; при этом всякая пара \((x,y)\), удовлетворяющая системе, порождает решение \(x=f(f(x))\), а найденная симметричная неподвижная точка уже даёт такую пару. Следовательно, других решений, кроме \(x=y\) с \(x^3-x+1=0\), нет. Итак, решения третьей системы: единственная пара \((x,y)\) с \(x=y\) и \(x^3-x+1=0\).