ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \( x^3 + y^3 = 1 \), \( x^4 + y^4 = 1 \);
2) \( x^3 = 8y + x \), \( y^3 = 8x + y \);
3) \( \frac{1 + x^2 — y}{2x} = \frac{1 + y^2 — x}{2y} \).

Первая система уравнений:
Из второго уравнения следует, что \(x_4 \leq 1\), \(y_4 \leq 1\), \(|x| \leq 1\), \(|y| \leq 1\). Из первого уравнения \(x_3 + y_3 = 1\), где \(0 \leq x_3 \leq 1\), \(0 \leq y_3 \leq 1\), а также \(x_3 \geq x_4\), \(y_3 \geq y_4\). Учитывая равенство \(x_3 + y_3 = x_4 + y_4\), получаем \(x_3 = x_4\), \(y_3 = y_4\). Решения: \((0, 1)\) и \((1, 0)\).

Вторая система уравнений:
Дано \(x^3 = 8y + x\), \(y^3 = 8x + y\). Преобразуем в \(x^3 — 8x = y^3 — 8y\). Функция \(f(t) = t^3 — 8t\) возрастает на отрезке, где \(y = x\). Тогда \(x^3 = 9x\), откуда \(x^3 — 9x = 0\), или \(x(x^2 — 9) = 0\). Решения: \(x = 0\), \(x = -3\), \(x = 3\), и соответственно \(y = 0\), \(y = -3\), \(y = 3\). Ответ: \((0, 0)\), \((-3, -3)\), \((3, 3)\).

Третья система уравнений:
Дано \(\frac{2x^2}{1 + x^2} = y\), \(\frac{2y^2}{1 + y^2} = x\). Подставим \(y = f(x) = \frac{2x^2}{1 + x^2}\), тогда \(f(f(x)) = x\). Решаем уравнение \(2x^2 = x(1 + x^2)\), или \(x^3 — 2x^2 + x = 0\), что дает \(x(x — 1)^2 = 0\). Решения: \(x = 0\), \(x = 1\), и соответственно \(y = 0\), \(y = 1\). Ответ: \((0, 0)\), \((1, 1)\).

1) Рассмотрим систему уравнений \(x^3 + y^3 = 1\) и \(x^4 + y^4 = 1\). Наша цель — найти все пары \((x, y)\), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Сначала проанализируем второе уравнение \(x^4 + y^4 = 1\). Поскольку \(x^4 \geq 0\) и \(y^4 \geq 0\), очевидно, что \(x^4 \leq 1\) и \(y^4 \leq 1\), откуда следует, что \(|x| \leq 1\) и \(|y| \leq 1\). Это ограничивает область поиска решений в квадрат \([-1, 1] \times [-1, 1]\).

Теперь обратимся к первому уравнению \(x^3 + y^3 = 1\). Учитывая ограничения на \(x\) и \(y\), рассмотрим значения \(x^3\) и \(y^3\). Поскольку \(x^3\) и \(y^3\) являются нечетными функциями, их значения также лежат в пределах \([-1, 1]\). Однако, так как их сумма равна 1, наиболее вероятные значения будут в положительной области. Предположим, что \(0 \leq x \leq 1\) и \(0 \leq y \leq 1\), тогда \(0 \leq x^3 \leq 1\) и \(0 \leq y^3 \leq 1\), что согласуется с суммой, равной 1.

Далее, заметим, что \(x^4 = (x^3)^{4/3}\) и \(y^4 = (y^3)^{4/3}\). Но более полезно рассмотреть связь между \(x^3\) и \(x^4\). Поскольку \(x^4 = x \cdot x^3\), а \(|x| \leq 1\), то \(x^4 \leq x^3\) при \(x \geq 0\), и аналогично для \(y\). Таким образом, если \(x_3 = x^3\), \(y_3 = y^3\), \(x_4 = x^4\), \(y_4 = y^4\), то \(x_3 \geq x_4\) и \(y_3 \geq y_4\).

Из уравнений \(x_3 + y_3 = 1\) и \(x_4 + y_4 = 1\), а также условия \(x_3 + y_3 \geq x_4 + y_4\), получаем, что \(x_3 + y_3 = x_4 + y_4 = 1\), и поскольку \(x_3 \geq x_4\), \(y_3 \geq y_4\), единственное решение достигается при равенстве: \(x_3 = x_4\), \(y_3 = y_4\). Это возможно, если \(x = 0\) или \(x = 1\), так как только в этих точках \(x^3 = x^4\). Проверяем: если \(x = 0\), то \(y^3 = 1\), \(y = 1\), и \(x^4 + y^4 = 0 + 1 = 1\); если \(x = 1\), то \(y^3 = 0\), \(y = 0\), и \(x^4 + y^4 = 1 + 0 = 1\). Другие значения, например, отрицательные, не дают решений, так как сумма кубов и четвертых степеней не совпадает.

Таким образом, решения системы: \((0, 1)\) и \((1, 0)\).

2) Рассмотрим систему уравнений \(x^3 = 8y + x\) и \(y^3 = 8x + y\). Нужно найти все пары \((x, y)\), удовлетворяющие этим уравнениям.

Перепишем уравнения в виде \(x^3 — x = 8y\) и \(y^3 — y = 8x\). Если обозначить функцию \(f(t) = t^3 — t\), то система принимает вид \(f(x) = 8y\), \(f(y) = 8x\). Заметим, что если \(y = x\), то из первого уравнения \(x^3 — x = 8x\), откуда \(x^3 — 9x = 0\), или \(x(x^2 — 9) = 0\). Это дает решения \(x = 0\), \(x = 3\), \(x = -3\). Проверяем второе уравнение: для \(x = y = 0\), \(0^3 — 0 = 8 \cdot 0\), выполняется; для \(x = y = 3\), \(27 — 3 = 24 = 8 \cdot 3\), выполняется; для \(x = y = -3\), \((-27) — (-3) = -24 = 8 \cdot (-3)\), также выполняется.

Теперь проверим, есть ли решения, где \(x \neq y\). Предположим, \(y = kx\), и подставим в уравнения. Однако проще рассмотреть разность уравнений. Вычтем из первого уравнения второе (после приведения): \(x^3 — x — 8y = 0\), \(y^3 — y — 8x = 0\), тогда \((x^3 — y^3) — (x — y) = 8(y — x)\), или \((x — y)(x^2 + xy + y^2) — (x — y) = -8(x — y)\). Если \(x \neq y\), то \((x — y) \neq 0\), и делим на \((x — y)\): \(x^2 + xy + y^2 — 1 = -8\), откуда \(x^2 + xy + y^2 = -7\). Но левая часть всегда неотрицательна (дискриминант \(x^2 + xy + y^2 = (x + y/2)^2 + (3/4)y^2 \geq 0\)), а правая часть отрицательна, что невозможно. Значит, решений с \(x \neq y\) нет.

Таким образом, решения системы: \((0, 0)\), \((3, 3)\), \((-3, -3)\).

3) Рассмотрим систему уравнений \(\frac{2x^2}{1 + x^2} = y\) и \(\frac{2y^2}{1 + y^2} = x\). Нужно найти все пары \((x, y)\), удовлетворяющие этим уравнениям.

Обозначим функцию \(f(t) = \frac{2t^2}{1 + t^2}\). Тогда система записывается как \(y = f(x)\), \(x = f(y)\), или \(x = f(f(x))\). Сначала исследуем функцию \(f(t)\). Заметим, что \(f(t)\) возрастает на \((-\infty, \infty)\), так как производная \(f'(t) = \frac{4t}{(1 + t^2)^2} > 0\) при \(t > 0\) и \(< 0\) при \(t < 0\), но из-за четности функции и анализа поведения можно заключить, что \(f(t)\) монотонна в определенных областях. Однако нас интересует \(f(f(x)) = x\). Подставим \(y = f(x)\) во второе уравнение: \(x = \frac{2y^2}{1 + y^2} = \frac{2 \cdot \left(\frac{2x^2}{1 + x^2}\right)^2}{1 + \left(\frac{2x^2}{1 + x^2}\right)^2}\). Упростим это выражение. Числитель: \(2 \cdot \frac{4x^4}{(1 + x^2)^2} = \frac{8x^4}{(1 + x^2)^2}\). Знаменатель: \(1 + \frac{4x^4}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 + x^2)^2 + 4x^4}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + 2x^2 + x^4 + 4x^4}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + 2x^2 + 5x^4}{(1 + x^2)^2}\). Тогда \(x = \frac{\frac{8x^4}{(1 + x^2)^2}}{\frac{1 + 2x^2 + 5x^4}{(1 + x^2)^2}} = \frac{8x^4}{1 + 2x^2 + 5x^4}\). Умножим обе части на знаменатель: \(x(1 + 2x^2 + 5x^4) = 8x^4\). Приведем к виду \(5x^5 + 2x^3 + x - 8x^4 = 0\), или точнее, вынесем \(x\): \(x(5x^4 - 8x^3 + 2x^2 + 1) = 0\). Одно решение \(x = 0\), тогда \(y = f(0) = 0\). Теперь решим уравнение \(5x^4 - 8x^3 + 2x^2 + 1 = 0\). Пробуем рациональные корни, например, \(x = 1\): \(5 - 8 + 2 + 1 = 0\), подходит. Делим многочлен на \((x - 1)\), получаем \(5x^3 - 3x^2 - x + 1\), и проверяем \(x = 1\): \(5 - 3 - 1 + 1 = 2 \neq 0\), других рациональных корней нет. Однако, поскольку \(f(f(x)) = x\), и \(f\) ограничена, проверяем \(x = 1\), тогда \(y = f(1) = \frac{2}{2} = 1\), и \(x = f(y) = 1\), выполняется. Анализируем другие возможные корни. Дискриминант и поведение функции показывают, что других действительных корней нет в области, где \(f(f(x)) = x\). Таким образом, решения системы: \((0, 0)\) и \((1, 1)\).