ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( (\sqrt{x} — a)(3x^2 + x — 2) = 0 \) имеет единственное решение?

Для уравнения \((\sqrt{x} — a)(3x^2 + x — 2) = 0\) нужно найти значения \(a\), при которых оно имеет единственное решение.

Сначала рассмотрим первое уравнение \(\sqrt{x} — a = 0\). Отсюда \(\sqrt{x} = a\), а поскольку \(\sqrt{x} \geq 0\), то \(a \geq 0\). Тогда \(x = a^2\).

Далее решаем второе уравнение \(3x^2 + x — 2 = 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 — 5}{6} = -1\), \(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}\).

Учитываем область определения: \(x \geq 0\). Поэтому из корней второго уравнения подходит только \(x = \frac{2}{3}\), так как \(x = -1\) не удовлетворяет условию.

Уравнение имеет единственное решение, если \(x = a^2\) совпадает с \(x = \frac{2}{3}\), либо если \(a < 0\), когда первое уравнение не имеет решений в области \(x \geq 0\), и остается только одно решение от второго уравнения. Если \(a < 0\), то \(\sqrt{x} = a\) невозможно, и решение только \(x = \frac{2}{3}\). Если \(a \geq 0\), то при \(a^2 = \frac{2}{3}\) (т.е. \(a = \sqrt{\frac{2}{3}}\)) также одно решение. Ответ: \(a < 0\) или \(a = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

1) Первое уравнение: \((\sqrt{x} — a) = 0\). Решаем его, чтобы найти одно из возможных решений исходного уравнения. Из условия \(\sqrt{x} — a = 0\) получаем \(\sqrt{x} = a\). Поскольку \(\sqrt{x}\) определена только для \(x \geq 0\), то и \(a\) должно быть неотрицательным, то есть \(a \geq 0\). Возводя обе стороны в квадрат, получаем \(x = a^2\). Таким образом, одно из решений уравнения — это \(x = a^2\), при условии, что \(a \geq 0\).

2) Второе уравнение: \(3x^2 + x — 2 = 0\). Это квадратное уравнение, и мы найдем его корни с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -2\). Подставляем значения: \(D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Находим их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 — 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1\). Второй корень: \(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = \frac{2}{3}\).

3) Область определения: поскольку в исходном уравнении присутствует \(\sqrt{x}\), необходимо учитывать ограничение на \(x\). Функция \(\sqrt{x}\) определена только для \(x \geq 0\). Это означает, что любые решения уравнения должны удовлетворять этому условию. Из корней второго уравнения \(x_1 = -1\) не входит в область определения, так как \(-1 < 0\), поэтому его отбрасываем. Остается только \(x_2 = \frac{2}{3}\), который удовлетворяет условию \(x \geq 0\). Также решение \(x = a^2\) из первого уравнения всегда удовлетворяет области определения, так как \(a \geq 0\), и, следовательно, \(x = a^2 \geq 0\). 4) Решения совпадают: исходное уравнение \((\sqrt{x} - a)(3x^2 + x - 2) = 0\) имеет решения, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, возможные решения — это \(x = a^2\) (при \(a \geq 0\)) и \(x = \frac{2}{3}\) (из второго уравнения, с учетом области определения). Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях. Первый случай: если \(a < 0\), то первое уравнение \(\sqrt{x} = a\) не имеет решений, так как \(\sqrt{x} \geq 0\), и остается только одно решение \(x = \frac{2}{3}\) от второго уравнения. Второй случай: если \(a \geq 0\), то нужно, чтобы решения совпали, то есть \(x = a^2 = \frac{2}{3}\). Тогда \(a^2 = \frac{2}{3}\), откуда \(a = \sqrt{\frac{2}{3}}\) (так как \(a \geq 0\)). При других значениях \(a \geq 0\) решений будет два: \(x = a^2\) и \(x = \frac{2}{3}\), если они различны. Ответ: \(a < 0\) или \(a = \sqrt{\frac{2}{3}}\).