ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \( 9x^{2} + \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} = 1 — 2y \), \( 6x + y = 2 \);
2) \( x^{2} + 2y + \sqrt{x^{2} + 2y + 1} = 1 \), \( 2x + y = 2 \).

1) \( 9x^{2} + \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} = 1 — 2y \); \( 6x + y = 2 \)

Второе уравнение: \( y = 2 — 6x \);

Первое уравнение: \( 9x^{2} + 2y + 1 + \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} — 2 = 0 \);

Пусть \( t = \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} \), тогда: \( t^{2} + t — 2 = 0 \); \( D = 1^{2} + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда: \( t = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \); \( t = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \);

Вернем замену: \( \sqrt{9x^{2} + 2(2 — 6x) + 1} = 1 \); \( 9x^{2} + 4 — 12x + 1 = 1 \); \( 9x^{2} — 12x + 4 = 0 \); \( (3x — 2)^{2} = 0 \); \( 3x = 2 \); \( x = \frac{2}{3} \); \( y = 2 — 6 \cdot \frac{2}{3} = 2 — 4 = -2 \).

Ответ: \( \left( \frac{2}{3}; -2 \right) \).

2) \( x^{2} + 2y + \sqrt{x^{2} + 2y + 1} = 1 \); \( 2x + y = 2 \)

Второе уравнение: \( y = 2 — 2x \);

Первое уравнение: \( x^{2} + 2y + 1 + \sqrt{x^{2} + 2y + 1} — 2 = 0 \);

Пусть \( t = \sqrt{x^{2} + 2y + 1} \), тогда: \( t^{2} + t — 2 = 0 \); \( D = 1^{2} + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда: \( t_{1} = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \); \( t_{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \);

Вернем замену: \( \sqrt{x^{2} + 2(2 — 2x) + 1} = 1 \); \( x^{2} + 4 — 4x + 1 = 1 \); \( x^{2} — 4x + 4 = 0 \); \( (x — 2)^{2} = 0 \); \( x = 2 \); \( y = 2 — 2 \cdot 2 = 2 — 4 = -2 \).

Ответ: \( (2; -2) \).

1) Рассмотрим первую систему уравнений: \( 9x^{2} + \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} = 1 — 2y \) и \( 6x + y = 2 \). Наша цель — найти значения \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Начнем со второго уравнения, так как оно более простое. Выразим \( y \) через \( x \): \( y = 2 — 6x \). Теперь у нас есть выражение для \( y \), которое можно подставить в первое уравнение.

Подставим \( y = 2 — 6x \) в первое уравнение: \( 9x^{2} + \sqrt{9x^{2} + 2(2 — 6x) + 1} = 1 — 2(2 — 6x) \). Упростим выражение внутри корня: \( 9x^{2} + 4 — 12x + 1 = 9x^{2} — 12x + 5 \), а правую часть: \( 1 — 4 + 12x = -3 + 12x \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( 9x^{2} + \sqrt{9x^{2} — 12x + 5} = -3 + 12x \).

Чтобы избавиться от корня, переместим \( 9x^{2} \) в правую часть: \( \sqrt{9x^{2} — 12x + 5} = -3 + 12x — 9x^{2} \). Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы устранить корень: \( 9x^{2} — 12x + 5 = (-3 + 12x — 9x^{2})^{2} \). Раскроем правую часть: \( (-3 + 12x — 9x^{2})^{2} = 81x^{4} — 216x^{3} + 198x^{2} — 72x + 9 \). Итак, уравнение становится: \( 9x^{2} — 12x + 5 = 81x^{4} — 216x^{3} + 198x^{2} — 72x + 9 \).

Перенесем все члены в левую часть: \( 81x^{4} — 216x^{3} + 189x^{2} — 60x + 4 = 0 \). Это уравнение четвертой степени, но мы можем попытаться упростить его. Заметим, что можно подставить \( y = 2 — 6x \) в исходное уравнение по-другому. Вернемся к первому уравнению и сделаем замену. Пусть \( t = \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} \), тогда первое уравнение можно переписать как: \( 9x^{2} + t = 1 — 2y \), а поскольку \( y = 2 — 6x \), то \( 9x^{2} + t = 1 — 2(2 — 6x) = 1 — 4 + 12x = -3 + 12x \), то есть \( t = -3 + 12x — 9x^{2} \).

Так как \( t = \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} \), то \( t^{2} = 9x^{2} + 2y + 1 \). Подставим \( y = 2 — 6x \): \( t^{2} = 9x^{2} + 2(2 — 6x) + 1 = 9x^{2} + 4 — 12x + 1 = 9x^{2} — 12x + 5 \). Теперь у нас есть \( t = -3 + 12x — 9x^{2} \), возведем в квадрат: \( t^{2} = (-3 + 12x — 9x^{2})^{2} = 81x^{4} — 216x^{3} + 198x^{2} — 72x + 9 \). Приравняем: \( 9x^{2} — 12x + 5 = 81x^{4} — 216x^{3} + 198x^{2} — 72x + 9 \), что опять приводит к сложному уравнению.

Рассмотрим другой подход. Вернемся к \( t \). У нас есть \( t^{2} = 9x^{2} + 2y + 1 \), а \( t = -3 + 12x — 9x^{2} \), но проще рассмотреть выражение для \( t \). Заметим, что \( 9x^{2} + 2y + 1 = t^{2} \), и из первого уравнения \( 9x^{2} + t = 1 — 2y \), выразим \( 2y \): \( 2y = 1 — 9x^{2} — t \), тогда подставим в \( t^{2} \): \( t^{2} = 9x^{2} + (1 — 9x^{2} — t) + 1 = 9x^{2} + 1 — 9x^{2} — t + 1 = 2 — t \), то есть \( t^{2} + t — 2 = 0 \).

Решим квадратное уравнение для \( t \): дискриминант \( D = 1^{2} + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда \( t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \), то есть \( t = 1 \) или \( t = -2 \). Поскольку \( t = \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} \geq 0 \), то \( t = -2 \) не подходит, остается \( t = 1 \).

Итак, \( \sqrt{9x^{2} + 2y + 1} = 1 \), возведем в квадрат: \( 9x^{2} + 2y + 1 = 1 \), то есть \( 9x^{2} + 2y = 0 \), откуда \( 2y = -9x^{2} \), но у нас есть \( y = 2 — 6x \), подставим: \( 2(2 — 6x) = -9x^{2} \), то есть \( 4 — 12x = -9x^{2} \), или \( 9x^{2} — 12x + 4 = 0 \). Это \( (3x — 2)^{2} = 0 \), откуда \( 3x — 2 = 0 \), \( x = \frac{2}{3} \).

Теперь найдем \( y \): \( y = 2 — 6 \cdot \frac{2}{3} = 2 — 4 = -2 \). Проверим подстановкой в первое уравнение: \( 9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} + \sqrt{9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 2 \cdot (-2) + 1} = 9 \cdot \frac{4}{9} + \sqrt{4 — 4 + 1} = 4 + \sqrt{1} =\)
\(= 4 + 1 = 5 \), а правая часть: \( 1 — 2 \cdot (-2) = 1 + 4 = 5 \). Совпадает. Второе уравнение: \( 6 \cdot \frac{2}{3} + (-2) = 4 — 2 = 2 \). Совпадает.

Ответ для первой системы: \( \left( \frac{2}{3}; -2 \right) \).

2) Рассмотрим вторую систему уравнений: \( x^{2} + 2y + \sqrt{x^{2} + 2y + 1} = 1 \) и \( 2x + y = 2 \). Наша цель — найти значения \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют обоим уравнениям.

Начнем со второго уравнения: выразим \( y = 2 — 2x \). Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^{2} + 2(2 — 2x) + \sqrt{x^{2} + 2(2 — 2x) + 1} = 1 \), упростим: \( x^{2} + 4 — 4x + \sqrt{x^{2} + 4 — 4x + 1} = 1 \), то есть \( x^{2} — 4x + 4 + \sqrt{x^{2} — 4x + 5} = 1 \).

Перенесем члены: \( \sqrt{x^{2} — 4x + 5} = 1 — (x^{2} — 4x + 4) = 1 — x^{2} + 4x — 4 = -x^{2} + 4x — 3 \). Возведем обе стороны в квадрат: \( x^{2} — 4x + 5 = (-x^{2} + 4x — 3)^{2} = x^{4} — 8x^{3} + 22x^{2} — 24x + 9 \). Перенесем все в левую часть: \( x^{4} — 8x^{3} + 21x^{2} — 20x + 4 = 0 \). Это снова сложное уравнение.

Попробуем замену. Пусть \( t = \sqrt{x^{2} + 2y + 1} \), тогда первое уравнение: \( x^{2} + 2y + t = 1 \), откуда \( x^{2} + 2y = 1 — t \). Подставим в выражение для \( t^{2} \): \( t^{2} = x^{2} + 2y + 1 = (1 — t) + 1 = 2 — t \), то есть \( t^{2} + t — 2 = 0 \).

Решим для \( t \): дискриминант \( D = 1 + 8 = 9 \), \( t = \frac{-1 \pm 3}{2} \), то есть \( t = 1 \) или \( t = -2 \). Так как \( t \geq 0 \), то \( t = 1 \).

Тогда \( \sqrt{x^{2} + 2y + 1} = 1 \), возведем в квадрат: \( x^{2} + 2y + 1 = 1 \), то есть \( x^{2} + 2y = 0 \), откуда \( 2y = -x^{2} \), \( y = -\frac{x^{2}}{2} \). Но у нас есть \( y = 2 — 2x \), приравняем: \( 2 — 2x = -\frac{x^{2}}{2} \), умножим на 2: \( 4 — 4x = -x^{2} \), или \( x^{2} — 4x + 4 = 0 \), то есть \( (x — 2)^{2} = 0 \), откуда \( x = 2 \).

Теперь \( y = 2 — 2 \cdot 2 = 2 — 4 = -2 \). Проверим: первое уравнение \( 2^{2} + 2 \cdot (-2) + \sqrt{4 — 4 + 1} = 4 — 4 + \sqrt{1} = 0 + 1 = 1 \), совпадает с правой частью. Второе уравнение: \( 2 \cdot 2 + (-2) = 4 — 2 = 2 \), совпадает.

Ответ для второй системы: \( (2; -2) \).