ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \( \sqrt{4 — x + y} + \sqrt{9 — 2x + y} = 7 \), \( 2y — 3x = 12 \).

Система: \(\begin{cases}x^2+\sqrt{3x^2-2y+3}=\frac{2}{3}y+5,\\ 3y-2x=5.\end{cases}\)

Из второго уравнения: \(\,y=\frac{2x+5}{3}\). Подставим в первое: \(\,x^2+\sqrt{3x^2-2\cdot\frac{2x+5}{3}+3}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2x+5}{3}+5\Rightarrow x^2+\sqrt{3x^2-\frac{4x+10}{3}+3}=\)
\(=\frac{4x+10}{9}+5\).

Обозначим \(t=\sqrt{3x^2-2y+3}\). Тогда из первого уравнения: \(x^2+t=\frac{2}{3}y+5\). С учётом \(y=\frac{2x+5}{3}\) получаем квадратное по \(t\): \(t^2+3t-18=0\Rightarrow t\in\{-6,\,3\}\). Отрицательное \(t=-6\) невозможно, берём \(t=3\).

Вернём замену: \(\sqrt{3x^2-2y+3}=3\Rightarrow 3x^2-2y+3=9\Rightarrow 3x^2-2y=6\). Подставим \(y=\frac{2x+5}{3}\): \(3x^2-\frac{2(2x+5)}{3}=6\Rightarrow 9x^2-(4x+10)-18=0\Rightarrow 9x^2-4x-28=0\).

Решаем: \(D=16+1008=1024\Rightarrow x_{1,2}=\frac{4\pm32}{18}\Rightarrow x_1=\frac{36}{18}=2,\;x_2=\frac{-28}{18}=-\frac{14}{9}\). Тогда \(y=\frac{2x+5}{3}\): \(y_1=\frac{2\cdot2+5}{3}=3,\;y_2=\frac{2\cdot(-\frac{14}{9})+5}{3}=\frac{-\frac{28}{9}+5}{3}=\frac{\frac{17}{9}}{3}=\frac{17}{27}\).

Ответ: \((2;3),\left(-\frac{14}{9};\frac{17}{27}\right)\).

Система: \(\begin{cases}x^{2}+\sqrt{3x^{2}-2y+3}=\frac{2}{3}y+5,\\ 3y-2x=5.\end{cases}\) Начинаем со второго уравнения, чтобы выразить одну переменную через другую: из \(\,3y-2x=5\,\) получаем \(\,3y=2x+5\,\Rightarrow\,y=\frac{2x+5}{3}\). Это выражение подставляем в первое уравнение, чтобы свести систему к одному неизвестному. Тогда левая часть первого уравнения становится \(\,x^{2}+\sqrt{3x^{2}-2\cdot\frac{2x+5}{3}+3}\), а правая часть \(\,\frac{2}{3}\cdot\frac{2x+5}{3}+5=\frac{4x+10}{9}+5\). Получаем уравнение \(\,x^{2}+\sqrt{3x^{2}-\frac{4x+10}{3}+3}=\frac{4x+10}{9}+5\), где подкоренное выражение обязано быть неотрицательным, что априори выполнится для найденных решений.

Введём замену \(\,t=\sqrt{3x^{2}-2y+3}\,\) с учётом \(\,t\ge 0\). Тогда первое уравнение перепишется как \(\,x^{2}+t=\frac{2}{3}y+5\). Подставляя \(\,y=\frac{2x+5}{3}\), получаем связь \(\,x^{2}+t=\frac{4x+10}{9}+5\). Чтобы убрать корень, используем равносильную систему: \(\,t^{2}=3x^{2}-2y+3\) и \(\,x^{2}+t=\frac{2}{3}y+5\). Исключим \(x\) и \(y\): из второго соотношения выразим \(\,y=\frac{3}{2}(x^{2}+t-5)\). Подставляем в первое: \(\,t^{2}=3x^{2}-2\cdot\frac{3}{2}(x^{2}+t-5)+3=3x^{2}-3x^{2}-3t+15+3\). Отсюда получается уравнение \(\,t^{2}+3t-18=0\). Находим дискриминант \(\,D=3^{2}+4\cdot18=9+72=81\) и корни \(\,t=\frac{-3\pm9}{2}\Rightarrow t_{1}=3,\;t_{2}=-6\). Значение \(\,t=-6\) противоречит условию \(\,t\ge 0\), поэтому остаётся \(\,t=3\).

Возвращаемся к исходной переменной и снимаем корень: \(\,\sqrt{3x^{2}-2y+3}=3\Rightarrow 3x^{2}-2y+3=9\Rightarrow 3x^{2}-2y=6\). Совмещаем это с ранее найденным \(\,y=\frac{2x+5}{3}\) и решаем линейно-квадратную связку по \(x\): \(\,3x^{2}-2\cdot\frac{2x+5}{3}=6\Rightarrow 9x^{2}-(4x+10)-18=0\Rightarrow 9x^{2}-4x-28=0\). Вычислим дискриминант \(\,D=(-4)^{2}-4\cdot9\cdot(-28)=16+1008=1024\). Находим корни: \(\,x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{1024}}{18}=\frac{4\pm32}{18}\), поэтому \(\,x_{1}=\frac{36}{18}=2\) и \(\,x_{2}=\frac{-28}{18}=-\frac{14}{9}\). Подставляем обратно в \(\,y=\frac{2x+5}{3}\): для \(\,x=2\) получаем \(\,y=\frac{2\cdot2+5}{3}=3\); для \(\,x=-\frac{14}{9}\) имеем \(\,y=\frac{2\cdot(-\frac{14}{9})+5}{3}=\frac{-\frac{28}{9}+5}{3}=\frac{\frac{17}{9}}{3}=\frac{17}{27}\). Оба решения удовлетворяют исходной системе, так как при \(\,x=2,y=3\) и при \(\,x=-\frac{14}{9},y=\frac{17}{27}\) корень даёт \(\,t=3\ge 0\), а проверка подстановкой в первое и второе уравнения выполняется без противоречий.

Ответ: \((2;3),\left(-\frac{14}{9};\frac{17}{27}\right)\).