ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \( 2x^2 — 5x y — 3y^2 = 0 \), \( x^2 — 2x y — \frac{1}{2} = 2 \);
2) \( 6x + y = 2 \), \( 9x^2 + 9x^2 + 2y + 1 = 1 — 2y \).

1) Система: \(2x^2 — 5xy — 3y^2 = 0\), \(x^2 — 2xy — y^2 = 2\).
Решаем первое уравнение как квадратное по \(x\): \(D = (5y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3y^2 = 49y^2\),
\(x_1 = \frac{5y — 7y}{4} = -y\), \(x_2 = \frac{5y + 7y}{4} = 3y\).
Подставляем в второе уравнение:
Для \(x = -y\): \((-y)^2 — 2y(-y) — y^2 = 2\), упрощаем до \(2y^2 = 2\), \(y = \pm 1\), \(x = \mp 1\).
Для \(x = 3y\): \((3y)^2 — 2y(3y) — y^2 = 2\), упрощаем до \(2y^2 = 2\), \(y = \pm 1\), \(x = \pm 3\).
Ответ: \((-1; 1)\), \((1; -1)\), \((-3; -1)\), \((3; 1)\).

2) Система: \(2x^2 — 5xy + 2y^2 = 0\), \(x^2 + y^2 = 5\).
Решаем первое уравнение как квадратное по \(x\): \(D = (5y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2y^2 = 9y^2\),
\(x_1 = \frac{5y — 3y}{4} = \frac{y}{2}\), \(x_2 = \frac{5y + 3y}{4} = 2y\).
Подставляем в второе уравнение:
Для \(x = \frac{y}{2}\): \(\left(\frac{y}{2}\right)^2 + y^2 = 5\), упрощаем до \(\frac{5y^2}{4} = 5\), \(y = \pm 2\), \(x = \pm 1\).
Для \(x = 2y\): \((2y)^2 + y^2 = 5\), упрощаем до \(5y^2 = 5\), \(y = \pm 1\), \(x = \pm 2\).
Ответ: \((-1; -2)\), \((1; 2)\), \((-2; -1)\), \((2; 1)\).

1) Рассмотрим систему уравнений: \(2x^2 — 5xy — 3y^2 = 0\) и \(x^2 — 2xy — y^2 = 2\). Наша цель — найти все пары \((x, y)\), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Первым шагом решим первое уравнение относительно \(x\), рассматривая его как квадратное уравнение по \(x\). Оно имеет вид \(2x^2 — 5y \cdot x — 3y^2 = 0\). Коэффициенты: \(a = 2\), \(b = -5y\), \(c = -3y^2\). Вычислим дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = (-5y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3y^2) = 25y^2 + 24y^2 = 49y^2\).

Теперь найдём корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(x = \frac{5y \pm \sqrt{49y^2}}{4} = \frac{5y \pm 7y}{4}\). Это даёт два решения: \(x_1 = \frac{5y — 7y}{4} = \frac{-2y}{4} = -\frac{y}{2} \cdot 2 = -y\) и \(x_2 = \frac{5y + 7y}{4} = \frac{12y}{4} = 3y\).

Далее подставим каждое из значений \(x\) во второе уравнение системы \(x^2 — 2xy — y^2 = 2\). Начнём с \(x = -y\). Подставляем: \((-y)^2 — 2 \cdot (-y) \cdot y — y^2 = y^2 + 2y^2 — y^2 = 2y^2\). Приравняем к правой части: \(2y^2 = 2\), откуда \(y^2 = 1\), а значит \(y = 1\) или \(y = -1\). Соответственно, \(x = -y\), то есть \(x = -1\) при \(y = 1\) и \(x = 1\) при \(y = -1\). Получаем две пары: \((-1, 1)\) и \((1, -1)\).

Теперь рассмотрим второе значение \(x = 3y\). Подставляем во второе уравнение: \((3y)^2 — 2 \cdot (3y) \cdot y — y^2 = 9y^2 — 6y^2 — y^2 = 2y^2\). Приравняем к правой части: \(2y^2 = 2\), откуда \(y^2 = 1\), а значит \(y = 1\) или \(y = -1\). Соответственно, \(x = 3y\), то есть \(x = 3\) при \(y = 1\) и \(x = -3\) при \(y = -1\). Получаем ещё две пары: \((3, 1)\) и \((-3, -1)\).

Таким образом, решения системы: \((-1, 1)\), \((1, -1)\), \((-3, -1)\), \((3, 1)\).

2) Рассмотрим систему уравнений: \(2x^2 — 5xy + 2y^2 = 0\) и \(x^2 + y^2 = 5\). Наша цель — найти все пары \((x, y)\), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Решаем первое уравнение как квадратное по \(x\): \(2x^2 — 5y \cdot x + 2y^2 = 0\). Коэффициенты: \(a = 2\), \(b = -5y\), \(c = 2y^2\). Вычислим дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = (-5y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2y^2 = 25y^2 — 16y^2 = 9y^2\).

Находим корни уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5y \pm \sqrt{9y^2}}{4} = \frac{5y \pm 3y}{4}\). Это даёт два решения: \(x_1 = \frac{5y — 3y}{4} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}\) и \(x_2 = \frac{5y + 3y}{4} = \frac{8y}{4} = 2y\).

Подставим каждое значение \(x\) во второе уравнение \(x^2 + y^2 = 5\). Начнём с \(x = \frac{y}{2}\). Подставляем: \(\left(\frac{y}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{y^2}{4} + y^2 = \frac{y^2 + 4y^2}{4} = \frac{5y^2}{4}\). Приравняем: \(\frac{5y^2}{4} = 5\), откуда \(5y^2 = 20\), \(y^2 = 4\), а значит \(y = 2\) или \(y = -2\). Тогда \(x = \frac{y}{2}\), то есть \(x = 1\) при \(y = 2\) и \(x = -1\) при \(y = -2\). Получаем пары: \((1, 2)\) и \((-1, -2)\).

Теперь рассмотрим \(x = 2y\). Подставляем: \((2y)^2 + y^2 = 4y^2 + y^2 = 5y^2\). Приравняем: \(5y^2 = 5\), откуда \(y^2 = 1\), а значит \(y = 1\) или \(y = -1\). Тогда \(x = 2y\), то есть \(x = 2\) при \(y = 1\) и \(x = -2\) при \(y = -1\). Получаем пары: \((2, 1)\) и \((-2, -1)\).

Таким образом, решения системы: \((-1, -2)\), \((1, 2)\), \((-2, -1)\), \((2, 1)\).