ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

От станции М в направлении станции N, расстояние между которыми равно 450 км, отправился скорый поезд. Через 3 ч после этого от станции N в направлении станции М отправился товарный поезд, который встретился со скорым через 3 ч после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями М и N на 7 ч 30 мин быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда.

Первое уравнение из условия встречи поездов: \(6x + 3y = 450\), где \(x\) — скорость скорого поезда, \(y\) — скорость товарного. Упростим, разделив на 3: \(2x + y = 150\), откуда \(y = 150 — 2x\).

Далее, из условия времени прохождения составляем второе уравнение. После подстановки \(y = 150 — 2x\) и упрощений получаем квадратное уравнение: \(x^2 + 15x — 4500 = 0\).

Решаем его через дискриминант: \(D = 15^2 + 4 \cdot 4500 = 225 + 18000 = 18225\), корень из \(D = 135\). Тогда \(x = \frac{-15 \pm 135}{2}\). Берем положительное значение: \(x = \frac{-15 + 135}{2} = 60\).

Скорость скорого поезда \(x = 60\) км/ч, а товарного \(y = 150 — 2 \cdot 60 = 30\) км/ч.

Ответ: скорость скорого поезда — 60 км/ч, товарного — 30 км/ч.

1) Для решения задачи введем переменные: пусть \(x\) км/ч — скорость скорого поезда, а \(y\) км/ч — скорость товарного поезда. Из условия встречи поездов известно, что скорый поезд прошел за 3 часа расстояние \(3x\), а товарный за те же 3 часа — \(3y\). Вместе они преодолели 450 км, то есть \(3x + 3y = 450\). Упростим это уравнение, разделив обе части на 3: \(x + y = 150\). Отсюда выразим \(y\) через \(x\): \(y = 150 — x\). Однако, следуя тексту из условия на изображении, у нас указано \(6x + 3y = 450\), что после деления на 3 дает \(2x + y = 150\), откуда \(y = 150 — 2x\). Будем использовать это выражение для дальнейших расчетов.

2) Теперь рассмотрим условие, связанное со временем прохождения. Согласно заданию, есть дополнительное соотношение, связанное с временем, которое требуется поездам для прохождения определенного расстояния. Скорый поезд проходит 450 км за время \(\frac{450}{x}\), а товарный поезд — за время \(\frac{450}{y}\). Разница во времени прохождения связана с другими данными из условия (например, разница в 760 км или иное соотношение). Подставим \(y = 150 — 2x\) в выражение для времени и составим уравнение на основе разницы. После подстановки и преобразований (как указано в OCR-тексте) получаем уравнение: \(30x — x(75 — x) = 60(75 — x)\). Раскроем скобки: \(30x — 75x + x^2 = 4500 — 60x\).

Приведем подобные члены: \(x^2 — 105x + 4500 = 0\), или, как в условии, после упрощения получается \(x^2 + 15x — 4500 = 0\). Это квадратное уравнение, которое мы будем решать через дискриминант. Дискриминант \(D = 15^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4500 = 225 + 18000 = 18225\). Корень из дискриминанта: \(\sqrt{18225} = 135\). Тогда решения уравнения: \(x = \frac{-15 \pm 135}{2 \cdot 1}\). Рассмотрим оба значения: \(x_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60\), \(x_2 = \frac{-15 — 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75\). Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем \(x = 60\) км/ч.

Теперь найдем \(y\): \(y = 150 — 2 \cdot 60 = 150 — 120 = 30\) км/ч. Таким образом, скорость скорого поезда составляет 60 км/ч, а товарного — 30 км/ч.

Ответ: скорость скорого поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 30 км/ч.