ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а второго — 40 км/ч. Через 0,5 ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал первый на 1,5 ч позже, чем второй. Найдите скорость третьего автомобиля.

Пусть \(x\) — скорость третьего автомобиля. За \(0{,}5\) ч первые два прошли: \(S_1=50\cdot0{,}5=25\) км, \(S_2=40\cdot0{,}5=20\) км.

Скорости сближения третьего авто с первым и вторым: \(v_1=x-50\), \(v_2=x-40\). Время до встречи отличается на \(1{,}5\) ч: \(\frac{25}{x-50}-\frac{20}{x-40}=1{,}5\).

Переносим к общему знаменателю и решаем: \(25(x-40)-20(x-50)=1{,}5(x-50)(x-40)\Rightarrow 3x^2-280x+6000=0\). Дискриминант \(D=280^2-4\cdot3\cdot6000=6400\), корни: \(x_{1,2}=\frac{280\pm80}{6}\Rightarrow x_1= \frac{200}{6}\approx33{,}3<50\) (не подходит), \(x_2=\frac{360}{6}=60\).

Ответ: \(60\) км/ч.

Пусть \(x\) — скорость третьего автомобиля в км/ч. Дано, что первый и второй автомобили уже ехали \(0{,}5\) часа до выезда третьего. Поэтому их пройденные пути к моменту выезда третьего равны: для первого \(S_1=50\cdot0{,}5=25\) км, для второго \(S_2=40\cdot0{,}5=20\) км. После выезда третьего автомобиля он начинает догонять первый и второй соответственно со скоростями сближения \(v_1=x-50\) и \(v_2=x-40\), так как скорости сближения равны разности его скорости и скорости каждого из тех, кого он догоняет. Время, за которое третий догонит первого, равно \(t_1=\frac{25}{x-50}\), а время догонки второго равно \(t_2=\frac{20}{x-40}\). По условию разница этих времен равна \(1{,}5\) часа, причём третий догоняет второго раньше, а первого позже, следовательно выполняется уравнение \(t_1-t_2=1{,}5\), то есть \(\frac{25}{x-50}-\frac{20}{x-40}=1{,}5\).

Приведём левую часть к общему знаменателю и раскроем скобки. Умножим обе части на \((x-50)(x-40)\), получим \(25(x-40)-20(x-50)=1{,}5(x-50)(x-40)\). Раскроем скобки слева: \(25x-1000-20x+1000=5x\). Справа раскроем произведение: \((x-50)(x-40)=x^2-90x+2000\), тогда правая часть равна \(1{,}5(x^2-90x+2000)=1{,}5x^2-135x+3000\). Перенесём всё в одну сторону: \(5x=1{,}5x^2-135x+3000\Rightarrow 1{,}5x^2-140x+3000=0\). Удобно умножить на \(2\), чтобы избавиться от дробных коэффициентов: получаем квадратное уравнение \(3x^2-280x+6000=0\).

Найдём дискриминант: \(D=b^2-4ac=280^2-4\cdot3\cdot6000=78400-72000=6400\). Корни по формуле квадратного уравнения: \(x=\frac{280\pm\sqrt{6400}}{2\cdot3}=\frac{280\pm80}{6}\). Тогда \(x_1=\frac{200}{6}\approx33{,}3\) и \(x_2=\frac{360}{6}=60\). Проверим физический смысл: значение \(x_1\approx33{,}3\) км/ч меньше \(50\) км/ч, при таком \(x\) третий автомобиль не сможет догнать первый, а также выражение \(x-50\) становится отрицательным, что противоречит временам догонки. Следовательно, этот корень не подходит. Второй корень \(x=60\) км/ч удовлетворяет условиям: \(x-50=10>0\), \(x-40=20>0\), разность времен действительно равна \(1{,}5\) ч, так как \(\frac{25}{10}-\frac{20}{20}=2{,}5-1{,}0=1{,}5\). Ответ: \(60\) км/ч.