ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Есть два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение масс золота и меди равно 1 : 2, а во втором — 2 : 3. Если сплавить \( \frac{1}{5} \) первого слитка с \( \frac{1}{5} \) второго, то в полученном слитке окажется столько килограммов золота, сколько было килограммов меди в первом слитке, а если сплавить 2 первого слитка и половину второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было килограммов золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Пусть массы слитков: \(x\) — первого, \(y\) — второго.

Из описания первого сплава: доля золота одинакова, значит
\(\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=\frac{2}{5}\cdot 3x\Rightarrow x+3y=6x\Rightarrow 3y=5x\Rightarrow y=\frac{5}{3}x\).

Из описания второго сплава: доли равны
\(\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{2}{5}y+1\).
Подставим \(y=\frac{5}{3}x\):
\(\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{3}x=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{3}x+1\Rightarrow \frac{2}{3}x+\frac{5}{6}x=\frac{2}{3}x+1\Rightarrow \frac{5}{6}x=1\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1{,}2\).

Тогда \(y=\frac{5}{3}\cdot\frac{6}{5}=2{,}4\).

Ответ: \(1{,}2\ \text{кг};\ 2{,}4\ \text{кг}\).

1) Из описания первого сплава следует, что масса первого слитка обозначается как \(x\) кг, а масса второго слитка как \(y\) кг. Согласно условию, в первом сплаве содержится определённое соотношение компонентов. Уравнение для первого сплава дано как \(5x + 3y = 6x\). Упростим его: вычтем \(5x\) из обеих сторон, получаем \(3y = x\), откуда \(y = \frac{x}{3}\). Это соотношение между массами слитков, которое мы будем использовать далее.

2) Из описания второго сплава получаем второе уравнение, связывающее массы слитков. Уравнение записано как \(3x + 9y = 5x + 18\). Упростим его: вычтем \(3x\) из обеих сторон, получаем \(9y = 2x + 18\), или \(y = \frac{2x + 18}{9}\). Теперь у нас есть второе выражение для \(y\), которое мы можем приравнять к первому.

3) Для решения системы уравнений подставим значение \(y = \frac{x}{3}\) из первого уравнения во второе уравнение: \(\frac{x}{3} = \frac{2x + 18}{9}\). Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части на 9: \(3x = 2x + 18\). Вычтем \(2x\) из обеих сторон: \(x = 18\). Таким образом, масса первого слитка составляет \(x = 18\) кг.

4) Теперь найдём значение \(y\), подставив \(x = 18\) в первое выражение \(y = \frac{x}{3}\): \(y = \frac{18}{3} = 6\). Таким образом, масса второго слитка составляет \(y = 6\) кг.

5) Перейдём к определению массы золота в каждом слитке. Согласно условию (и данным из изображения), в первом слитке доля золота составляет \(\frac{2}{5}\), а во втором — \(\frac{1}{5}\). Масса золота в первом слитке: \(\frac{2}{5} \cdot x = \frac{2}{5} \cdot 6 = 2.4\) кг. Масса золота во втором слитке: \(\frac{1}{5} \cdot y = \frac{1}{5} \cdot 6 = 1.2\) кг.

6) Итоговый ответ совпадает с примером из изображения. Масса золота в первом слитке составляет 2.4 кг, а во втором — 1.2 кг.