ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 6 ч. Если первый тракторист проработает самостоятельно 4 ч, а затем его сменит второй, то этот тракторист закончит вспашку за 9 ч. За какое время, работая самостоятельно, может вспахать поле каждый тракторист?

Пусть скорости трактористов: первого \(a\) поля/ч, второго \(b\) поля/ч. Совместно за 6 ч: \(a+b=\frac{1}{6}\). Во втором режиме: первый за 4 ч делает \(4a\), остаётся \(1-4a\), второй выполняет это за 9 ч: \(9b=1-4a\).

Решим систему. Из первого: \(b=\frac{1}{6}-a\). Подставим во второе: \(9\left(\frac{1}{6}-a\right)=1-4a\Rightarrow \frac{3}{2}-9a=1-4a\Rightarrow \frac{1}{2}=5a\Rightarrow a=\frac{1}{10}\). Тогда \(b=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{1}{15}\).

Итог: первый вспашет поле один за \(T_{1}=\frac{1}{a}=10\) ч, второй — за \(T_{2}=\frac{1}{b}=15\) ч.

Пусть производительность первого тракториста равна \(a\) поля в час, а второго равна \(b\) поля в час. Тогда их совместная производительность равна сумме индивидуальных: \(a+b=\frac{1}{6}\), потому что вместе они вспахивают одно поле за 6 часов. Это ключевое соотношение связывает скорости обоих работников и задаёт первую формулу системы. Далее используем второе условие: если первый работает один 4 часа, он выполняет долю работы \(4a\). Оставшаяся часть равна \(1-4a\). Эту оставшуюся работу второй тракторист выполняет за 9 часов, следовательно его производительность удовлетворяет равенству \(9b=1-4a\). Таким образом, имеем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: \(a+b=\frac{1}{6}\) и \(9b=1-4a\).

Решим систему. Из первого уравнения выразим \(b\): \(b=\frac{1}{6}-a\). Подставим во второе уравнение: \(9\left(\frac{1}{6}-a\right)=1-4a\). Преобразуем левую часть: \(9\cdot\frac{1}{6}-9a=\frac{3}{2}-9a\). Перенесём члены: \(\frac{3}{2}-9a=1-4a\Rightarrow \frac{3}{2}-1=9a-4a\Rightarrow \frac{1}{2}=5a\). Отсюда находим производительность первого: \(a=\frac{1}{10}\) поля в час. Теперь найдём производительность второго: \(b=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5}{30}-\frac{3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\cdot 2=\frac{2}{15}\) поля в час. Проверка согласованности: совместная скорость \(a+b=\frac{1}{10}+\frac{2}{15}=\frac{3}{30}+\frac{4}{30}=\frac{7}{30}\), что не равно \(\frac{1}{6}=\frac{5}{30}\)? Заметим, что верная свёртка должна быть аккуратной: \(\frac{1}{10}=\frac{3}{30}\), \(\frac{2}{15}=\frac{4}{30}\), сумма \(\frac{7}{30}\) указывает на потенциальную ошибку только если исходные условия нарушены. Но исходное первое уравнение уже учтено при вычислении \(b\), значит нужно сверить вычисления: \(b=\frac{1}{6}-a=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5}{30}-\frac{3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\). Однако это противоречит второму уравнению \(9b=1-4a\): \(9\cdot\frac{1}{15}=\frac{3}{5}\) и \(1-4\cdot\frac{1}{10}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\), всё совпадает. Следовательно, корректное значение \(b=\frac{1}{15}\). Исправим арифметику: \(b=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5}{30}-\frac{3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\). Тогда совместная скорость \(a+b=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\), что полностью согласуется с условием задачи.

Теперь переведём производительности в времена выполнения всей работы каждым по отдельности. Время равно обратной величине к производительности: для первого \(T_{1}=\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{10}}=10\) часов. Для второго \(T_{2}=\frac{1}{b}=\frac{1}{\frac{1}{15}}=15\) часов. Выполним итоговую проверку по второму сценарию: первый за 4 часа выполняет долю \(4a=4\cdot\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\), остаётся \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\). Второй со скоростью \(b=\frac{1}{15}\) за 9 часов выполняет \(9b=9\cdot\frac{1}{15}=\frac{3}{5}\), то есть ровно столько, сколько осталось. Следовательно, все условия задачи удовлетворены, и искомые времена равны \(10\) часов для первого и \(15\) часов для второго.