ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Проволочной сеткой длиной 600 м надо огородить участок земли прямоугольной формы. При каких размерах участка его площадь будет наибольшей?

Пусть размеры участка составляют \(a\) м и \(b\) м. Из условия длины ограждения: \(2a + 2b = 600\), откуда \(a + b = 300\), следовательно, \(b = 300 — a\).

Площадь участка выражается как \(S = a \cdot b = a(300 — a) = 300a — a^2\). Это уравнение представляет параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \(a^2\) отрицательный (\(-1 < 0\)).

Для нахождения максимальной площади определяем абсциссу вершины параболы по формуле \(a_0 = -\frac{b}{2c}\), где \(b = 300\), \(c = -1\), следовательно, \(a_0 = -\frac{300}{2 \cdot (-1)} = 150\). Тогда \(b_0 = 300 — 150 = 150\).

Ответ: размеры участка для максимальной площади составляют \(150\) м \(\times\) \(150\) м.

1) Пусть размеры данного участка составляют \(a\) м и \(b\) м. Из условия задачи известно, что длина ограждения участка равна \(600\) м. Ограждение охватывает весь периметр участка, который состоит из двух длин и двух ширин. Таким образом, мы можем записать уравнение для периметра: \(2a + 2b = 600\). Упростим это выражение, разделив обе части на \(2\), и получим \(a + b = 300\). Теперь выразим \(b\) через \(a\): \(b = 300 — a\). Это соотношение будет использовано далее для нахождения площади.

2) Площадь участка определяется как произведение его длины и ширины, то есть \(S = a \cdot b\). Подставим выражение для \(b\), полученное на предыдущем шаге: \(S = a \cdot (300 — a)\). Раскроем скобки и получим \(S = 300a — a^2\). Это уравнение представляет собой квадратичную функцию, которая описывает зависимость площади от одной из сторон участка.

3) Проанализируем полученную функцию \(S = 300a — a^2\). Это парабола, так как функция имеет вид \(S = -a^2 + 300a\), где коэффициент при \(a^2\) равен \(-1\), что меньше \(0\). Следовательно, ветви параболы направлены вниз, а это означает, что функция имеет максимум в своей вершине. Нам нужно найти значение \(a\), при котором площадь \(S\) будет максимальной.

4) Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу \(a_0 = -\frac{b}{2c}\), где \(b = 300\), а \(c = -1\). Подставим значения: \(a_0 = -\frac{300}{2 \cdot (-1)} = \frac{300}{2} = 150\). Таким образом, \(a_0 = 150\). Теперь найдём соответствующее значение \(b_0\), подставив \(a_0\) в уравнение из первого пункта: \(b_0 = 300 — 150 = 150\).

Ответ: размеры участка, при которых площадь максимальна, составляют \(150\) м \(\times\) \(150\) м.