ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Два спортсмена выбегают одновременно: первый из пункта А в пункт В, второй из пункта В в пункт А. Они бегут с разными скоростями и встречаются на расстоянии 300 м от пункта А. Пробежав дорожку АВ до конца, каждый из них сразу поворачивает обратно и встречает другого на расстоянии 400 м от пункта В. Найдите длину дорожки АВ.

Первая встреча спортсменов происходит на расстоянии 300 м от точки А, что позволяет записать уравнение: \( \frac{300}{V_1} = \frac{S — 300}{V_2} \), откуда \( V_2 = V_1 \cdot \frac{S — 300}{300} \).

Вторая встреча происходит после прохождения дополнительного пути, что дает уравнение: \( \frac{S + 400}{V_1} = \frac{2S — 400}{V_2} \). Подставляя выражение для \( V_2 \), получаем: \( \frac{S + 400}{V_1} = \frac{2S — 400}{V_1 \cdot \frac{S — 300}{300}} \).

Упрощая, приходим к квадратному уравнению: \( S^2 — 500S = 0 \), которое имеет решения \( S = 0 \) и \( S = 500 \). Поскольку \( S = 0 \) не имеет физического смысла, длина дорожки равна 500 м.

Ответ: 500 м.

Зададим переменные: \( V_1 \) м/с — скорость первого спортсмена, \( V_2 \) м/с — скорость второго спортсмена, \( S \) м — длина дорожки АВ. Наша цель — определить длину дорожки \( S \), используя условия двух встреч спортсменов.

1) Из условия первой встречи: спортсмены встречаются на расстоянии 300 м от точки А. Первый спортсмен прошел 300 м со скоростью \( V_1 \), а второй спортсмен прошел расстояние \( S — 300 \) м со скоростью \( V_2 \). Так как время движения до встречи одинаково, можно записать уравнение: \( \frac{300}{V_1} = \frac{S — 300}{V_2} \). Выразим \( V_2 \) через \( V_1 \): \( V_2 = V_1 \cdot \frac{S — 300}{300} \).

2) Из условия второй встречи: спортсмены встречаются снова, когда первый прошел дополнительное расстояние до точки B и еще 400 м (то есть всего \( S + 400 \) м), а второй прошел дважды длину дорожки минус 400 м (то есть \( 2S — 400 \) м). Время движения до второй встречи также одинаково, поэтому уравнение имеет вид: \( \frac{S + 400}{V_1} = \frac{2S — 400}{V_2} \). Подставим выражение для \( V_2 \) из первого условия: \( \frac{S + 400}{V_1} = \frac{2S — 400}{V_1 \cdot \frac{S — 300}{300}} \).

Упростим это уравнение. Умножим обе части на \( V_1 \cdot \frac{S — 300}{300} \), чтобы избавиться от знаменателей: \( (S + 400) \cdot \frac{S — 300}{300} = 2S — 400 \). Умножим обе части на 300, чтобы убрать дробь: \( (S + 400) \cdot (S — 300) = 300 \cdot (2S — 400) \).

Раскроем скобки в левой части: \( (S + 400) \cdot (S — 300) = S^2 — 300S + 400S — 120000 = S^2 + 100S — 120000 \). В правой части: \( 300 \cdot (2S — 400) = 600S — 120000 \). Теперь уравнение принимает вид: \( S^2 + 100S — 120000 = 600S — 120000 \).

Перенесем все члены в левую часть: \( S^2 + 100S — 120000 — 600S + 120000 = 0 \), что упрощается до \( S^2 — 500S = 0 \). Вынесем \( S \) за скобки: \( S \cdot (S — 500) = 0 \). Решения уравнения: \( S = 0 \) или \( S = 500 \).

Поскольку \( S = 0 \) не имеет физического смысла (длина дорожки не может быть нулевой), принимаем \( S = 500 \) м как единственное подходящее решение.

Ответ: 500 м.