ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если за 2 ч автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Первое уравнение из условия: \( x = 2y — 40 \), где \( x \) — скорость автомобиля, \( y \) — скорость автобуса.

Второе уравнение из условия времени прибытия: \( \frac{240}{y} — 1 = \frac{240}{x} \). Подставляем \( x = 2y — 40 \) и решаем: \( \frac{240}{y} — 1 = \frac{240}{2y — 40} \). Приводим к общему знаменателю и упрощаем: \( 240(y — 20) — y(y — 20) = 120y \), что дает \( y^2 — 140y + 4800 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 140^2 — 4 \cdot 4800 = 19600 — 19200 = 400 \). Корни: \( y_1 = \frac{140 — 20}{2} = 60 \), \( y_2 = \frac{140 + 20}{2} = 80 \). Тогда \( x_1 = 2 \cdot 60 — 40 = 80 \), \( x_2 = 2 \cdot 80 — 40 = 120 \).

Ответ: скорости могут быть \( 80 \, \text{км/ч} \) (автомобиль) и \( 60 \, \text{км/ч} \) (автобус) или \( 120 \, \text{км/ч} \) (автомобиль) и \( 80 \, \text{км/ч} \) (автобус).

Для решения задачи введем переменные: \( x \, \text{км/ч} \) — скорость автомобиля, \( y \, \text{км/ч} \) — скорость автобуса. Нам нужно найти возможные значения скоростей, исходя из условий задачи.

1) Из условия о пройденном расстоянии у нас есть соотношение между скоростями: \( x = 2y — 40 \). Это означает, что скорость автомобиля на 40 км/ч меньше, чем удвоенная скорость автобуса.

2) Из условия их прибытия мы знаем, что время, за которое автобус проходит 240 км, на 1 час больше, чем время, за которое автомобиль проходит то же расстояние. Время выражается как расстояние, деленное на скорость, поэтому получаем уравнение: \( \frac{240}{y} — 1 = \frac{240}{x} \). Это уравнение отражает разницу во времени прибытия.

Теперь подставим выражение для \( x \) из первого уравнения во второе: \( \frac{240}{y} — 1 = \frac{240}{2y — 40} \). Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на общий знаменатель \( y(2y — 40) \), чтобы избавиться от дробей. Получаем: \( 240(2y — 40) — y(2y — 40) = 240y \).

Раскроем скобки: \( 240 \cdot 2y — 240 \cdot 40 — (2y^2 — 40y) = 240y \), что равно \( 480y — 9600 — 2y^2 + 40y = 240y \). Приведем подобные члены: \( -2y^2 + (480y + 40y — 240y) — 9600 = 0 \), что дает \( -2y^2 + 280y — 9600 = 0 \). Умножим на \(-1\), чтобы привести к стандартному виду: \( 2y^2 — 280y + 9600 = 0 \). Для упрощения разделим все на 2: \( y^2 — 140y + 4800 = 0 \).

Решаем это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \( D = (-140)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 19600 — 19200 = 400 \). Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле \( y = \frac{140 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{140 \pm 20}{2} \). Таким образом, \( y_1 = \frac{140 + 20}{2} = 80 \), \( y_2 = \frac{140 — 20}{2} = 60 \).

Для каждого значения \( y \) найдем соответствующее \( x \). Если \( y = 60 \), то \( x = 2 \cdot 60 — 40 = 120 — 40 = 80 \). Если \( y = 80 \), то \( x = 2 \cdot 80 — 40 = 160 — 40 = 120 \).

Проверим оба решения. Первое: \( x = 80 \), \( y = 60 \). Время автобуса: \( \frac{240}{60} = 4 \, \text{ч} \), время автомобиля: \( \frac{240}{80} = 3 \, \text{ч} \). Разница: \( 4 — 3 = 1 \, \text{ч} \), что соответствует условию. Второе: \( x = 120 \), \( y = 80 \). Время автобуса: \( \frac{240}{80} = 3 \, \text{ч} \), время автомобиля: \( \frac{240}{120} = 2 \, \text{ч} \). Разница: \( 3 — 2 = 1 \, \text{ч} \), что также соответствует условию.

Ответ: возможные пары скоростей — \( 80 \, \text{км/ч} \) (автомобиль) и \( 60 \, \text{км/ч} \) (автобус) или \( 120 \, \text{км/ч} \) (автомобиль) и \( 80 \, \text{км/ч} \) (автобус).