ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Три пловца должны проплыть дистанцию от пункта А до пункта В и обратно. Сначала стартует первый, через 5 с — второй, а ещё через 5 с — третий. Некоторую точку С, находящуюся между пунктами А и В, все пловцы на пути к пункту В прошли одновременно. Третий пловец, проплыв до пункта В и возвращаясь обратно, встретил второго за 9 м, а первого — за 15 м от пункта В. Найдите скорость третьего пловца, если дистанция АВ равна 55 м.

Первое условие встречи дает уравнение: \( V_1 t = V_2 (t — 5) = V_3 (t — 10) \). Это означает, что все пловцы встречаются в точке C через время \( t \), с учетом задержек второго и третьего пловцов.

Из второй встречи с первым пловцом получаем дополнительные уравнения для \( V_3 \), связывающие время и скорость. После подстановки и упрощения: \( 7t — 70 = 40 / V_3 + 10 V_3 \), что приводит к выражению для \( t \).

Из второй встречи со вторым пловцом: \( 64(t — 10) = 46(t — 5) — 5 V_3 (t — 10) \). Решаем систему уравнений, подставляя значения и упрощая: \( (18 + 5 V_3)(70 + 10 V_3) — (410 + 50 V_3)(3 + V_3) = 0 \). После вычислений получаем \( V_3 = 1 \).

Ответ: \( V_3 = 1 \, \text{м/с} \).

1) Из условия первой встречи пловцов зададим уравнения для расстояний, которые они проходят до точки встречи C. Пусть \( V_1 \), \( V_2 \), \( V_3 \) — скорости первого, второго и третьего пловцов соответственно, а \( t \) — время прохождения точки C первым пловцом. Тогда для первого пловца расстояние равно \( V_1 t \). Второй пловец стартовал на 5 минут позже, значит, его время движения \( t — 5 \), а расстояние \( V_2 (t — 5) \). Третий пловец стартовал на 10 минут позже, его время \( t — 10 \), а расстояние \( V_3 (t — 10) \). Так как все встречаются в одной точке, уравнение принимает вид \( V_1 t = V_2 (t — 5) = V_3 (t — 10) \). Это основное уравнение для дальнейших расчетов.

2) Из условия второй встречи с первым пловцом извлекаем дополнительные зависимости. В момент второй встречи с первым пловцом учитываем дополнительные расстояния и время. После анализа условия получаем уравнение, связывающее \( V_3 \) и \( t \). Упрощая выражения, приходим к зависимости \( 7t — 70 = 40 / V_3 + 10 V_3 \). Решаем это уравнение относительно \( t \), чтобы выразить время через скорость третьего пловца: \( t = \frac{70 + 10 V_3}{3 + V_3} \). Это выражение для \( t \) будет использовано в дальнейшем.

3) Из условия второй встречи со вторым пловцом строим еще одно уравнение. Учитываем расстояния и время, пройденные пловцами ко второй встрече. Получаем уравнение \( 64(t — 10) = 46(t — 5) — 5 V_3 (t — 10) \). Раскрываем скобки и приводим подобные члены: \( 64t — 640 = 46t — 230 — 5 V_3 t + 50 V_3 \). Переносим все члены в одну сторону: \( 64t — 640 — 46t + 230 + 5 V_3 t — 50 V_3 = 0 \), что упрощается до \( (18 + 5 V_3)t — 410 — 50 V_3 = 0 \). Выражаем \( t \) как \( t = \frac{410 + 50 V_3}{18 + 5 V_3} \). Теперь подставляем ранее найденное выражение для \( t = \frac{70 + 10 V_3}{3 + V_3} \) в это уравнение и приравниваем: \( \frac{70 + 10 V_3}{3 + V_3} = \frac{410 + 50 V_3}{18 + 5 V_3} \). Умножаем обе части на denominators, чтобы избавиться от дробей: \( (70 + 10 V_3)(18 + 5 V_3) = (410 + 50 V_3)(3 + V_3) \). Раскрываем скобки: левая часть дает \( 1260 + 350 V_3 + 180 V_3 + 50 V_3^2 = 1260 + 530 V_3 + 50 V_3^2 \), правая часть дает \( 1230 + 410 V_3 + 150 V_3 + 50 V_3^2 = 1230 + 560 V_3 + 50 V_3^2 \). Приравниваем и переносим все в одну сторону: \( 1260 + 530 V_3 + 50 V_3^2 — 1230 — 560 V_3 — 50 V_3^2 = 0 \), что упрощается до \( 30 — 30 V_3 = 0 \). Решаем уравнение: \( 30 = 30 V_3 \), откуда \( V_3 = 1 \).

Ответ: скорость третьего пловца составляет \( V_3 = 1 \, \text{м/с} \).