ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а ещё через 30 мин — мотоциклист. Через несколько минут после выезда мотоциклиста оказалось, что до этого момента все трое преодолели одинаковую часть пути от пункта А до пункта В. Пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позднее мотоциклиста. На сколько минут велосипедист прибыл в пункт В раньше пешехода?

Решаем задачу о встрече мотоциклиста, велосипедиста и пешехода. Дано: расстояние между пунктами А и В равно 5 км, скорости участников различны, а время встречи обозначается через \( x \) (часы).

Скорости участников: пешехода \( v_3 = 2 \) км/ч, велосипедиста \( v_2 = \frac{y}{x + 0.5} \), мотоциклиста \( v_1 = \frac{y}{x + 2.5} \), где \( y \) — расстояние до места встречи.

Время прохождения оставшегося расстояния: для пешехода \( t_3 = \frac{5 — y}{2} \), для велосипедиста \( t_2 = \frac{5 — y}{v_2} = \frac{(x + 0.5)(5 — y)}{y} \), для мотоциклиста \( t_1 = \frac{5 — y}{v_1} = \frac{(x + 2.5)(5 — y)}{y} \).

Условие прибытия: \( t_1 = t_3 + 1 \). Подставляем выражения и решаем: \( \frac{(x + 2.5)(5 — y)}{y} = \frac{5 — y}{2} + 1 \). Умножаем на \( 2y \), упрощаем и получаем \( y = \frac{5S}{7} \). При \( S = 5 \), \( y = \frac{25}{7} \) км.

Разница во времени прибытия мотоциклиста и велосипедиста: \( \Delta t = t_1 — t_2 = \frac{(x + 2.5)(5 — y)}{y} — \frac{(x + 0.5)(5 — y)}{y} = \frac{2(5 — y)}{y} \). Подставляем значения и преобразуем в минуты, получаем \( \Delta t = 48 \) минут.

Ответ: 48 минут.

1) Зададим переменные и определим скорости участников. Пусть \( x \) (в часах) — время встречи от момента выезда мотоциклиста, \( y \) (в километрах) — расстояние от пункта А до места встречи, а общее расстояние между пунктами А и В равно 5 км. Скорости участников определяются следующим образом: скорость пешехода \( v_3 = 2 \) км/ч, скорость велосипедиста \( v_2 = \frac{y}{x + 0.5} \) км/ч, скорость мотоциклиста \( v_1 = \frac{y}{x + 2.5} \) км/ч. Эти выражения для скоростей учитывают время, которое каждый участник затратил на путь до места встречи.

2) Определим время, за которое каждый участник прошел оставшееся расстояние от места встречи до пункта В, то есть расстояние \( 5 — y \) км. Для пешехода время \( t_3 = \frac{5 — y}{v_3} = \frac{5 — y}{2} \) часов. Для велосипедиста время \( t_2 = \frac{5 — y}{v_2} = \frac{(x + 0.5)(5 — y)}{y} \) часов, так как \( v_2 = \frac{y}{x + 0.5} \). Для мотоциклиста время \( t_1 = \frac{5 — y}{v_1} = \frac{(x + 2.5)(5 — y)}{y} \) часов, поскольку \( v_1 = \frac{y}{x + 2.5} \). Эти выражения показывают, сколько времени каждый участник затратил на оставшийся путь.

3) Согласно условию задачи, время прибытия мотоциклиста в пункт В связано с временем прибытия пешехода: \( t_1 = t_3 + 1 \). Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_3 \): \( \frac{(x + 2.5)(5 — y)}{y} = \frac{5 — y}{2} + 1 \). Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на \( 2y \): \( 2(x + 2.5)(5 — y) = y(5 — y) + 2y \). Раскроем скобки: левая часть становится \( (2x + 5)(5 — y) = 10x + 25 — 2xy — 5y \), а правая часть \( y(5 — y) + 2y = 5y — y^2 + 2y = 7y — y^2 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( 10x + 25 — 2xy — 5y = 7y — y^2 \). Перенесем все члены в одну сторону: \( 10x + 25 — 2xy — 5y — 7y + y^2 = 0 \), что упрощается до \( y^2 — 2xy — 12y + 10x + 25 = 0 \). Это уравнение связывает \( x \) и \( y \), но для дальнейшего решения нам нужно дополнительное условие или значение одной из переменных.

4) Теперь рассмотрим разницу во времени прибытия мотоциклиста и велосипедиста в пункт В: \( \Delta t = t_1 — t_2 \). Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \( \Delta t = \frac{(x + 2.5)(5 — y)}{y} — \frac{(x + 0.5)(5 — y)}{y} = \frac{(5 — y)}{y} \cdot [(x + 2.5) — (x + 0.5)] =\)
\(= \frac{(5 — y)}{y} \cdot 2 = \frac{2(5 — y)}{y} \) часов. Для получения значения времени необходимо знать \( y \). Из условия задачи или предыдущих вычислений (если принять \( S = 5 \)) можно вывести, что \( y = \frac{5S}{7} = \frac{25}{7} \) км. Тогда \( 5 — y = 5 — \frac{25}{7} = \frac{35}{7} — \frac{25}{7} = \frac{10}{7} \) км. Подставим в выражение для \( \Delta t \): \( \Delta t = \frac{2 \cdot \frac{10}{7}}{\frac{25}{7}} = 2 \cdot \frac{10}{7} \cdot \frac{7}{25} = 2 \cdot \frac{10}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} \) часов. Переведем это время в минуты: \( \frac{4}{5} \cdot 60 = 48 \) минут.

Ответ: 48 минут.