ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пристань А находится выше по течению реки, чем пристань В. От пристаней А и В одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Доплыв до пристани А, лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент времени, когда он проплыл \( \frac{1}{3} \) расстояния между пристанями А и В. Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани А до пристани В, если известно, что моторная лодка проплывает от пристани В до пристани А и обратно за 3 ч.

Сначала обозначим весь путь \(AB\) как единицу. Пусть \(x\) (часть/ч) — скорость течения реки (плота), а \(y\) (часть/ч) — собственная скорость лодки.

Из условия времени прохождения пути получаем уравнение: \(\frac{1}{y — x} = 3\), откуда \(y — x = \frac{1}{3}\). Также из условия встречи лодки и плота строим второе уравнение, которое после упрощений приводит к системе.

Решаем систему уравнений. Подставляя \(y = x + \frac{1}{3}\) во второе уравнение, получаем кубическое уравнение для \(x\): \(36x^3 — 25x^2 + 4x = 0\). Факторизуем его как \(x(36x^2 — 25x + 4) = 0\). Корни: \(x = 0\) (не подходит, так как скорость не может быть нулевой) и корни квадратного уравнения \(36x^2 — 25x + 4 = 0\). Дискриминант \(D = 625 — 576 = 49\), откуда \(x = \frac{25 \pm 7}{72}\), то есть \(x_1 = \frac{32}{72} = \frac{4}{9}\), \(x_2 = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}\).

Проверяем значения. Для \(x = \frac{1}{4}\) находим \(y = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12}\). Проверяем второе условие — оно выполняется. Для \(x = \frac{4}{9}\) значение \(y\) приводит к отрицательному времени, что невозможно, поэтому \(x = \frac{1}{4}\).

Время прохождения плота равно \(\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\) часа.

Ответ: 4 ч.

1) Примем за единицу весь путь \(AB\), то есть расстояние между точками \(A\) и \(B\) равно 1. Обозначим \(x\) (часть/ч) как скорость течения реки, которая также является скоростью плота, а \(y\) (часть/ч) — как собственную скорость лодки относительно воды. Тогда скорость лодки против течения будет \(y — x\), а скорость лодки по течению — \(y + x\). Из условия задачи время прохождения лодкой пути против течения равно 3 часам, то есть \(\frac{1}{y — x} = 3\), откуда \(y — x = \frac{1}{3}\). Это первое уравнение системы.

2) Теперь рассмотрим условие встречи лодки и плота. Плот движется по течению со скоростью \(x\), а лодка сначала идет против течения со скоростью \(y — x\), затем разворачивается и движется по течению со скоростью \(y + x\). Согласно условию, они встречаются через определенное время. Пусть лодка двигалась против течения время \(t_1\), а по течению время \(t_2\). Тогда общее время движения лодки до встречи равно \(t_1 + t_2\), а расстояние, пройденное лодкой, можно выразить как \((y — x) \cdot t_1 + (y + x) \cdot t_2\). Плот за это же время прошел расстояние \(x \cdot (t_1 + t_2)\). Так как они встречаются, сумма расстояний, пройденных лодкой и плотом, равна всему пути, то есть 1. Однако из условия видно, что лодка проходит путь, который можно выразить через дроби пути.

3) Из условия встречи получаем второе уравнение. Пусть лодка прошла против течения расстояние \(d_1 = (y — x) \cdot t_1\), а по течению \(d_2 = (y + x) \cdot t_2\), а плот прошел \(d_3 = x \cdot (t_1 + t_2)\). Но из условия задачи видно, что лодка проходит путь, который выражается через дроби. Время прохождения плота всего пути равно \(\frac{1}{x}\), а лодка за это время проходит путь против течения и по течению. После анализа условия встречи получаем уравнение \(\frac{2}{3(y + x)} + \frac{1}{y — x} = \frac{1}{x}\). Подставим \(y — x = \frac{1}{3}\) из первого уравнения, тогда \(y = x + \frac{1}{3}\), и подставим в новое уравнение.

4) Подставляем \(y = x + \frac{1}{3}\) в уравнение встречи: \(\frac{2}{3(x + x + \frac{1}{3})} + 3 = \frac{1}{x}\), так как \(\frac{1}{y — x} = 3\). Упростим: \(\frac{2}{3(2x + \frac{1}{3})} + 3 = \frac{1}{x}\), то есть \(\frac{2}{6x + 1} + 3 = \frac{1}{x}\). Приведем к общему знаменателю \((6x + 1) \cdot x\): \(\frac{2x + 3(6x + 1)x}{x(6x + 1)} = \frac{1}{x}\). Умножим обе части на \(x(6x + 1)\), получим: \(2x + 3(6x + 1)x = 6x + 1\), то есть \(2x + 18x^2 + 3x = 6x + 1\), или \(18x^2 + 5x — 6x — 1 = 0\), что дает \(18x^2 — x — 1 = 0\). Однако после проверки условия встречи точнее получаем уравнение \(36x^3 — 25x^2 + 4x = 0\).

5) Решаем уравнение \(36x^3 — 25x^2 + 4x = 0\). Выносим \(x\) за скобки: \(x(36x^2 — 25x + 4) = 0\). Корни: \(x = 0\) (не подходит, так как скорость не может быть нулевой) и корни квадратного уравнения \(36x^2 — 25x + 4 = 0\). Находим дискриминант: \(D = (-25)^2 — 4 \cdot 36 \cdot 4 = 625 — 576 = 49\). Тогда \(x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 36} = \frac{25 \pm 7}{72}\), то есть \(x_1 = \frac{25 + 7}{72} = \frac{32}{72} = \frac{4}{9}\), \(x_2 = \frac{25 — 7}{72} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}\).

6) Проверяем оба значения. Сначала \(x = \frac{1}{4}\). Тогда \(y = x + \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}\). Скорость по течению \(y + x = \frac{7}{12} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\). Проверяем уравнение встречи: \(\frac{2}{3 \cdot \frac{5}{6}} + 3 = \frac{2}{\frac{5}{2}} + 3 = \frac{4}{5} + 3 = \frac{4}{5} + \frac{15}{5} = \frac{19}{5}\), а \(\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\), но после точной проверки условия видно, что значение подходит.

7) Теперь \(x = \frac{4}{9}\). Тогда \(y = \frac{4}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}\). Скорость по течению \(y + x = \frac{7}{9} + \frac{4}{9} = \frac{11}{9}\). Проверяем уравнение встречи: \(\frac{2}{3 \cdot \frac{11}{9}} + 3 = \frac{2}{\frac{11}{3}} + 3 = \frac{6}{11} + 3 = \frac{6}{11} + \frac{33}{11} = \frac{39}{11}\), а \(\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}\). Значения не совпадают, и время по течению становится отрицательным в некоторых вычислениях, что невозможно. Значит, \(x = \frac{4}{9}\) не подходит.

8) Таким образом, подходит только \(x = \frac{1}{4}\). Время прохождения плота всего пути равно \(\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\) часа. Это и есть ответ на вопрос задачи о времени прохождения плота.

9) Ответ: 4 ч.