ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В 7 ч утра от первого причала отплыли две лодки. Сначала они плыли 8 км по озеру, а затем 5 км по течению реки до второго причала. Первая лодка приплыла в место назначения не позже 9 ч 50 мин, а вторая — не раньше 10 ч 40 мин того же дня. Чему равна скорость каждой лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а скорость второй лодки в стоячей воде составляет 75 % скорости первой лодки в стоячей воде?

Собственные скорости лодок обозначим как \(x\) км/ч для первой лодки и \(y\) км/ч для второй. Из условия задачи получаем соотношение скоростей: \(y = 0.75x\), то есть \(y = \frac{3}{4}x\).

Для первой лодки из условия прибытия получаем неравенство: \(17x^2 — 44x — 96 \geq 0\). Решаем квадратное уравенство \(17x^2 — 44x — 96 = 0\), дискриминант \(D = 44^2 + 4 \cdot 17 \cdot 96 = 8464\), корни \(x_1 = \frac{44 — \sqrt{8464}}{34} = -2.71\), \(x_2 = \frac{44 + \sqrt{8464}}{34} = 4\). Так как \(x \geq 0\), то \(x \geq 4\).

Для второй лодки из условия прибытия: \(11y^2 — 17y — 48 \leq 0\). Дискриминант \(D = 17^2 + 4 \cdot 11 \cdot 48 = 2401\), корни \(y_1 = \frac{17 — \sqrt{2401}}{22} = -1.45\), \(y_2 = \frac{17 + \sqrt{2401}}{22} = 3\). Решение неравенства: \(y \leq 3\).

Учитывая соотношение \(y = \frac{3}{4}x\) и ограничения \(x \geq 4\), \(y \leq 3\), находим \(x = 4\), \(y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3\).

Ответ: собственные скорости лодок составляют \(4\) км/ч и \(3\) км/ч.

1) Зададим переменные для собственных скоростей лодок: \(x\) км/ч — собственная скорость первой лодки, \(y\) км/ч — собственная скорость второй лодки. Из условия задачи известно соотношение скоростей лодок: скорость второй лодки составляет 75% от скорости первой, то есть \(y = 0.75x\), что можно записать как \(y = \frac{3}{4}x\).

2) Рассмотрим условие прибытия первой лодки. Учитывая, что лодка движется по течению и против течения, а также заданные временные рамки, составляем уравнение. Пусть скорость течения равна \(2\) км/ч (как указано в задаче). Тогда скорость лодки по течению будет \(x + 2\), а против течения — \(x — 2\). Из условия задачи получаем неравенство, связанное с временем движения: \(48(x + 2) + 30x \leq 17x(x + 2)\). Раскроем и упростим это выражение: \(48x + 96 + 30x \leq 17x^2 + 34x\), что приводит к \(78x + 96 \leq 17x^2 + 34x\), или \(17x^2 — 44x — 96 \geq 0\).

Теперь решим квадратное уравенство \(17x^2 — 44x — 96 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = (-44)^2 + 4 \cdot 17 \cdot 96 = 1936 + 6528 = 8464\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{44 — \sqrt{8464}}{2 \cdot 17} = \frac{44 — 92}{34} = \frac{-48}{34} \approx -1.41\), \(x_2 = \frac{44 + \sqrt{8464}}{2 \cdot 17} = \frac{44 + 92}{34} = \frac{136}{34} = 4\). Поскольку скорость не может быть отрицательной, учитываем только \(x \geq 0\). Решение неравенства \(17x^2 — 44x — 96 \geq 0\) дает \(x \geq 4\).

3) Перейдем к условию прибытия второй лодки. Аналогично, скорость второй лодки по течению \(y + 2\), против течения \(y — 2\). Из условия задачи получаем неравенство: \(24(y + 2) + 15y \geq 11y(y + 2)\). Раскроем и упростим: \(24y + 48 + 15y \geq 11y^2 + 22y\), что приводит к \(39y + 48 \geq 11y^2 + 22y\), или \(11y^2 — 17y — 48 \leq 0\).

Решим квадратное уравенство \(11y^2 — 17y — 48 = 0\). Дискриминант: \(D = (-17)^2 + 4 \cdot 11 \cdot 48 = 289 + 2112 = 2401\). Корни: \(y_1 = \frac{17 — \sqrt{2401}}{2 \cdot 11} = \frac{17 — 49}{22} = \frac{-32}{22} \approx -1.45\), \(y_2 = \frac{17 + \sqrt{2401}}{2 \cdot 11} = \frac{17 + 49}{22} = \frac{66}{22} = 3\). Решение неравенства \(11y^2 — 17y — 48 \leq 0\) дает интервал \(-1.45 \leq y \leq 3\). Поскольку скорость положительная, то \(y \leq 3\).

4) Теперь объединим условия. Из соотношения \(y = \frac{3}{4}x\) и ограничений \(x \geq 4\), \(y \leq 3\), подставим \(y = \frac{3}{4}x\) в условие \(y \leq 3\): \(\frac{3}{4}x \leq 3\), откуда \(x \leq 4\). Учитывая \(x \geq 4\), получаем единственное значение \(x = 4\). Тогда \(y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3\).

Ответ: собственные скорости лодок составляют \(4\) км/ч для первой лодки и \(3\) км/ч для второй лодки.