ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Токарю было поручено изготовить 90 деталей, а ученику — 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью в два раза большей, чем ученик. Изготовляя остальные 60 деталей, он делал ещё на 2 детали в час больше и закончил свою работу не менее чем на 1 ч позже ученика. Однако если бы токарь первые 30 деталей изготавливал с такой же производительностью, что и остальные 60, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 мин после ученика. Сколько деталей в час делал ученик?

Первое условие: ученик делает \(x\) деталей в час. Из условия выполнения заказа за 30 часов: \(30x \geq 20(x+1) + x(x+1)\). Упрощаем: \(30x \geq 20x + 20 + x^2 + x\), что приводит к \(x^2 — 9x + 20 \leq 0\). Решаем квадратное уравнение, дискриминант \(D = 81 — 80 = 1\), корни \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\). Решение неравенства: \(4 \leq x \leq 5\).

Второе условие: из выполнения заказа за 90 часов: \(90x \geq 70(x+1) + x(x+1)\). Упрощаем: \(90x \geq 70x + 70 + x^2 + x\), что приводит к \(x^2 — 19x + 70 \leq 0\). Дискриминант \(D = 361 — 280 = 81\), корни \(x_1 = 5\), \(x_2 = 14\). Решение неравенства: \(5 \leq x \leq 14\).

Пересечение решений из обоих условий: \(x = 5\). Таким образом, ученик делает 5 деталей в час.

Ответ: 5 деталей.

1) Рассмотрим первое условие задачи. Пусть \(x\) — количество деталей, которое ученик делает за один час. Согласно первому условию, за 30 часов ученик должен выполнить заказ, который включает 20 деталей на один уровень сложности выше (\(x+1\)) и дополнительные детали, зависящие от его текущей производительности, то есть \(x(x+1)\). Таким образом, общее количество деталей, сделанных за 30 часов, должно быть не меньше, чем требуемый объем работы: \(30x \geq 20(x+1) + x(x+1)\).

Теперь упростим это неравенство. Раскроем скобки в правой части: \(20(x+1) = 20x + 20\), а \(x(x+1) = x^2 + x\). Подставим эти выражения в неравенство: \(30x \geq 20x + 20 + x^2 + x\). Сложим подобные члены в правой части: \(20x + x = 21x\), так что неравенство примет вид \(30x \geq x^2 + 21x + 20\). Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести неравенство к стандартному виду: \(30x — x^2 — 21x — 20 \geq 0\), что равно \(-x^2 + 9x — 20 \geq 0\). Умножим обе части на \(-1\), помня, что при этом знак неравенства меняется на противоположный: \(x^2 — 9x + 20 \leq 0\).

Решаем квадратное неравенство \(x^2 — 9x + 20 \leq 0\). Сначала найдем корни уравнения \(x^2 — 9x + 20 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{9 — \sqrt{1}}{2} = \frac{9 — 1}{2} = 4\), \(x_2 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5\). Таким образом, \(x^2 — 9x + 20 = (x — 4)(x — 5)\). Неравенство \((x — 4)(x — 5) \leq 0\) выполняется, когда \(x\) находится между корнями, то есть \(4 \leq x \leq 5\).

2) Перейдем ко второму условию задачи. Согласно второму условию, за 90 часов ученик должен выполнить заказ, который включает 70 деталей на один уровень сложности выше (\(x+1\)) и дополнительные детали, зависящие от его производительности, то есть \(x(x+1)\). Таким образом, общее количество деталей за 90 часов должно быть не меньше требуемого объема: \(90x \geq 70(x+1) + x(x+1)\).

Упростим это неравенство. Раскроем скобки: \(70(x+1) = 70x + 70\), а \(x(x+1) = x^2 + x\). Подставим в неравенство: \(90x \geq 70x + 70 + x^2 + x\). Сложим подобные члены: \(70x + x = 71x\), так что неравенство становится \(90x \geq x^2 + 71x + 70\). Перенесем все члены в левую часть: \(90x — x^2 — 71x — 70 \geq 0\), что равно \(-x^2 + 19x — 70 \geq 0\). Умножим на \(-1\), меняя знак неравенства: \(x^2 — 19x + 70 \leq 0\).

Решаем неравенство \(x^2 — 19x + 70 \leq 0\). Найдем корни уравнения \(x^2 — 19x + 70 = 0\). Дискриминант: \(D = 19^2 — 4 \cdot 1 \cdot 70 = 361 — 280 = 81\). Корни: \(x_1 = \frac{19 — \sqrt{81}}{2} = \frac{19 — 9}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{19 + \sqrt{81}}{2} = \frac{19 + 9}{2} = 14\). Таким образом, \(x^2 — 19x + 70 = (x — 5)(x — 14)\). Неравенство \((x — 5)(x — 14) \leq 0\) выполняется для \(5 \leq x \leq 14\).

Теперь найдем пересечение решений из первого и второго условий. Из первого условия: \(4 \leq x \leq 5\), из второго: \(5 \leq x \leq 14\). Пересечение этих интервалов дает \(x = 5\).

Ответ: 5 деталей.