ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Турист проплыл на лодке по реке от пристани А до пристани В и вернулся обратно за 6 ч. Найдите скорость течения реки, если 2 км по течению реки турист проплывает за то же время, что и 1 км против течения, а расстояние между пристанями А и В составляет 16 км.

Переменные: \( x \) км/ч — скорость течения реки, \( y \) км/ч — собственная скорость лодки.

Из условия времени прохождения: \( 2(y — x) = y + x \), откуда \( 2y — 2x = y + x \), следовательно, \( y = 3x \).

Из условия прибытия туриста: \( \frac{16}{y + x} + \frac{16}{y — x} = 6 \). Подставим \( y = 3x \): \( \frac{16}{3x + x} + \frac{16}{3x — x} = 6 \), то есть \( \frac{16}{4x} + \frac{16}{2x} = 6 \). Упростим: \( \frac{4}{x} + \frac{8}{x} = 6 \), \( \frac{12}{x} = 6 \), откуда \( x = 2 \).

Ответ: скорость течения реки \( x = 2 \) км/ч.

Для решения задачи введем переменные: \( x \) км/ч — скорость течения реки, \( y \) км/ч — собственная скорость лодки. Нам нужно найти значение \( x \), используя данные условия о времени прохождения пути и времени прибытия туриста.

1) Рассмотрим условие о времени прохождения пути. Из условия следует, что время движения лодки против течения на определенное расстояние в два раза больше, чем время движения по течению на то же расстояние. Запишем это в виде уравнения: \( 2(y — x) = y + x \). Раскроем и упростим это уравнение: \( 2y — 2x = y + x \). Перенесем все члены в одну сторону: \( 2y — y — 2x — x = 0 \), что дает \( y — 3x = 0 \), следовательно, \( y = 3x \). Таким образом, собственная скорость лодки в три раза больше скорости течения реки.

2) Теперь обратимся к условию прибытия туриста. Турист проходит 16 км по течению и 16 км против течения, и общее время на это составляет 6 часов. Скорость лодки по течению равна \( y + x \), а против течения — \( y — x \). Время на каждый участок пути можно выразить как \( \frac{16}{y + x} \) и \( \frac{16}{y — x} \). Суммарное время: \( \frac{16}{y + x} + \frac{16}{y — x} = 6 \).

Подставим в это уравнение значение \( y = 3x \), полученное из первого условия. Тогда: \( \frac{16}{3x + x} + \frac{16}{3x — x} = 6 \), что упрощается до \( \frac{16}{4x} + \frac{16}{2x} = 6 \). Вычислим каждое слагаемое: \( \frac{16}{4x} = \frac{4}{x} \), \( \frac{16}{2x} = \frac{8}{x} \). Суммируем: \( \frac{4}{x} + \frac{8}{x} = \frac{12}{x} = 6 \).

Теперь решим уравнение \( \frac{12}{x} = 6 \). Умножим обе стороны на \( x \): \( 12 = 6x \). Разделим обе стороны на 6: \( x = 2 \). Таким образом, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Проверим правильность решения. Если \( x = 2 \), то \( y = 3x = 6 \) км/ч. Скорость по течению: \( y + x = 6 + 2 = 8 \) км/ч, против течения: \( y — x = 6 — 2 = 4 \) км/ч. Время на путь по течению: \( \frac{16}{8} = 2 \) часа, против течения: \( \frac{16}{4} = 4 \) часа. Суммарное время: \( 2 + 4 = 6 \) часов, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость течения реки составляет \( x = 2 \) км/ч.