ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения параметра \( a \) имеет уравнение \( |x + 5| + |x — 3| = a \)?

Для уравнения \( |x + 5| + |x — 3| = a \) рассмотрим поведение функции в зависимости от значения \( x \).

На отрезке \( x \geq 3 \): \( |x + 5| + |x — 3| = (x + 5) + (x — 3) = 2x + 2 \), что является возрастающей функцией.

На отрезке \( -5 \leq x < 3 \): \( |x + 5| + |x - 3| = (x + 5) - (x - 3) = 8 \), что является константой. На отрезке \( x < -5 \): \( |x + 5| + |x - 3| = -(x + 5) - (x - 3) = -2x - 2 \), что является убывающей функцией. Минимальное значение функции равно 8 при \( -5 \leq x \leq 3 \). Если \( a < 8 \), то решений нет, так как функция не принимает значений меньше 8. Если \( a = 8 \), то решений бесконечно много, так как функция равна 8 на всем отрезке \( -5 \leq x \leq 3 \). Если \( a > 8 \), то уравнение имеет два решения: одно на \( x < -5 \) и одно на \( x > 3 \).

Для решения уравнения \( |x + 5| + |x — 3| = a \) необходимо рассмотреть поведение функции \( f(x) = |x + 5| + |x — 3| \) на различных интервалах числовой прямой, определяемых точками, где выражения под модулями меняют знак, то есть в точках \( x = -5 \) и \( x = 3 \). Таким образом, числовая прямая делится на три интервала: \( x < -5 \), \( -5 \leq x < 3 \) и \( x \geq 3 \). Проанализируем каждый из них. 1) Если \( x \geq 3 \), то оба выражения под модулями положительны: \( x + 5 > 0 \) и \( x — 3 \geq 0 \). Следовательно, \( |x + 5| = x + 5 \) и \( |x — 3| = x — 3 \). Тогда уравнение принимает вид \( (x + 5) + (x — 3) = a \), что упрощается до \( 2x + 2 = a \). Отсюда \( a = 2x + 2 \). Эта функция линейная и возрастающая, так как коэффициент при \( x \) положительный. При \( x = 3 \) значение \( a = 2 \cdot 3 + 2 = 8 \), и с увеличением \( x \) значение \( a \) растет.

2) Если \( -5 \leq x < 3 \), то выражение \( x + 5 \geq 0 \), а \( x - 3 < 0 \). Следовательно, \( |x + 5| = x + 5 \) и \( |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3 \). Тогда уравнение принимает вид \( (x + 5) + (-x + 3) = a \), что упрощается до \( 8 = a \). Таким образом, на этом интервале \( a = 8 \), то есть функция принимает постоянное значение 8 для всех \( x \) в данном диапазоне. 3) Если \( x < -5 \), то оба выражения под модулями отрицательны: \( x + 5 < 0 \) и \( x - 3 < 0 \). Следовательно, \( |x + 5| = -(x + 5) = -x - 5 \) и \( |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3 \). Тогда уравнение принимает вид \( (-x - 5) + (-x + 3) = a \), что упрощается до \( -2x - 2 = a \). Отсюда \( a = -2x - 2 \). Эта функция линейная и убывающая, так как коэффициент при \( x \) отрицательный. При \( x = -5 \) значение \( a = -2 \cdot (-5) - 2 = 10 - 2 = 8 \), и с уменьшением \( x \) значение \( a \) растет. Теперь объединим результаты и определим количество решений уравнения в зависимости от значения \( a \). Функция \( f(x) = |x + 5| + |x - 3| \) имеет минимальное значение 8 на интервале \( -5 \leq x \leq 3 \). Если \( a < 8 \), то горизонтальная прямая \( y = a \) не пересекает график функции, так как все значения функции больше или равны 8. Следовательно, решений нет. Если \( a = 8 \), то горизонтальная прямая \( y = 8 \) совпадает с графиком функции на всем интервале \( -5 \leq x \leq 3 \), поэтому решений бесконечно много. Если \( a > 8 \), то горизонтальная прямая \( y = a \) пересекает график функции в двух точках: одна на интервале \( x < -5 \), где функция убывает, и другая на интервале \( x > 3 \), где функция возрастает. Таким образом, уравнение имеет два решения.

Итог: если \( a < 8 \), то решений нет; если \( a = 8 \), то бесконечно много решений; если \( a > 8 \), то два решения.