ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график неравенства: 1) \( y < |x^2 — 4x| \); 2) \( y > x^2 — 4|x| \); 3) \( y \leq |x^2 — 4|x| \); 4) \( x^2 — 2|x| + y^2 \leq 0 \); 5) \( x^2 — 2|x| + y^2 — 2|y| + 1 > 0 \); 6) \( |x|y > 3 \); 7) \( x|y| \leq 6 \); 8) \( |xy| > 12 \); 9) \( |x| + |y| \leq 1 \); 10) \( |x| — |y| > 1 \).

1) \( y < |x^2 — 4x| \);

2) \( y > x^2 — 4|x| \);

3) \( y \leq |x^2 — 4|x| \);

4) \( x^2 — 2|x| + y^2 \leq 0 \);

5) \( x^2 — 2|x| + y^2 — 2|y| + 1 > 0 \);

6) \( |x|y > 3 \);

7) \( x|y| \leq 6 \);

8) \( |xy| > 12 \);

9) \( |x| + |y| \leq 1 \);

10) \( |x| — |y| > 1 \).

Для построения графиков неравенств я кратко опишу решение каждого из них с объяснением области, удовлетворяющей условию.

1. Для неравенства \( y < |x^2 — 4x| \): перепишем как \( y < |(x-2)^2 — 4| \). График функции \( y = |x^2 — 4x| \) — это парабола, сдвинутая вправо на 2 и преобразованная по модулю. Область решения — все точки под этой кривой, не включая саму кривую.

2. Для неравенства \( y > x^2 — 4|x| \): функция \( y = x^2 — 4|x| \) представляет параболу, опущенную вниз на 4 в зависимости от модуля \( x \). Решение — область над графиком, не включая границу.

3. Для неравенства \( y \leq |x^2 — 4|x| \): график функции \( y = |x^2 — 4|x| \) комбинирует параболу и модуль. Область решения — под кривой, включая саму кривую.

4. Для неравенства \( x^2 — 2|x| + y^2 \leq 0 \): перепишем как \( (x^2 — 2|x|) + y^2 \leq 0 \). Поскольку \( x^2 — 2|x| = (|x| — 1)^2 — 1 \geq -1 \), а \( y^2 \geq 0 \), сумма равна 0 только в точках \( (|x| = 1, y = 0) \). Решение — только точки \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).

5. Для неравенства \( x^2 — 2|x| + y^2 — 2|y| + 1 > 0 \): перепишем как \( (|x| — 1)^2 + (|y| — 1)^2 > 0 \). Сумма квадратов больше 0 всегда, кроме точки \( (|x| = 1, |y| = 1) \), но из-за строгого неравенства область — вся плоскость, кроме четырех точек \( (\pm1, \pm1) \).

6. Для неравенства \( |x|y > 3 \): перепишем как \( y > \frac{3}{|x|} \) (для \( y > 0 \)) и \( y < -\frac{3}{|x|} \) (для \( y < 0 \)). Область — над гиперболами в верхней полуплоскости и под гиперболами в нижней, без границы.

7. Для неравенства \( x|y| \leq 6 \): это \( |y| \leq \frac{6}{x} \) для \( x > 0 \) и \( |y| \geq \frac{6}{x} \) для \( x < 0 \), но корректнее рассматривать как полосу между гиперболами \( y = \pm\frac{6}{x} \) для \( x \neq 0 \). Область — между кривыми, включая границы.

8. Для неравенства \( |xy| > 12 \): перепишем как \( |y| > \frac{12}{|x|} \). Область — над гиперболами \( y = \pm\frac{12}{x} \) и под их зеркальными отражениями, без границы.

9. Для неравенства \( |x| + |y| \leq 1 \): это ромб с вершинами в \( (\pm1, 0) \) и \( (0, \pm1) \). Область решения — внутри ромба, включая границу.

10. Для неравенства \( |x| — |y| > 1 \): перепишем как \( |x| > |y| + 1 \). Область — вне полосы между прямыми \( y = x — 1 \), \( y = -x — 1 \), \( y = x + 1 \), \( y = -x + 1 \), без границы.