ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график неравенства: 1) \( y < |x^2 — 4x| \); 2) \( y > x^2 — 4|x| \); 3) \( y \leq |x^2 — 4|x| \); 4) \( x^2 — 2|x| + y^2 \leq 0 \); 5) \( x^2 — 2|x| + y^2 — 2|y| + 1 > 0 \); 6) \( |x|y > 3 \); 7) \( x|y| \leq 6 \); 8) \( |xy| > 12 \); 9) \( |x| + |y| \leq 1 \); 10) \( |x| — |y| > 1 \).

1) Перепишем \(y<|x^2-4x|=|(x-2)^2-4|\). Граница: график \(y=|x^2-4x|\). Ответ: точки строго ниже этой кривой (граница не включается).

2) Функция \(y=x^2-4|x|\) — кусочная парабола. Граница: \(y=x^2-4|x|\). Ответ: все точки строго выше графика (граница не включается).

3) Имеем \(y\le |x^2-4|x||\). Граница: \(y=|x^2-4|x||\). Ответ: все точки на и ниже этой кривой (граница включается).

4) Запишем \(x^2-2|x|+y^2=(|x|-1)^2-1+y^2\le0\). Так как \((|x|-1)^2\ge0\) и \(y^2\ge0\), равенство нулю только при \(|x|=1\) и \(y=0\). Ответ: две точки \((1,0)\) и \((-1,0)\).

5) Преобразуем \(x^2-2|x|+y^2-2|y|+1=(|x|-1)^2+(|y|-1)^2>0\). Сумма квадратов равна 0 только при \(|x|=1,|y|=1\). Ответ: вся плоскость, кроме четырёх точек \((\pm1,\pm1)\).

6) Из \(|x|y>3\) получаем \(y>\frac{3}{|x|}\) или \(y<-\frac{3}{|x|}\) (для \(x\neq0\)); при \(x=0\) решений нет. Граница: \(y=\pm\frac{3}{|x|}\). Ответ: области выше верхней ветви и ниже нижней, без границ, ось \(x=0\) исключена.

7) Из \(x|y|\le6\) следует \(|xy|\le6\). Для \(x\neq0\): \(|y|\le\frac{6}{|x|}\). Для \(x=0\): неравенство верно для любого \(y\). Граница: \(y=\pm\frac{6}{x}\) (для \(x\neq0\)). Ответ: полоса между гиперболами, включая границы, плюс вся ось \(x=0\).

8) \(|xy|>12\) эквивалентно \(|y|>\frac{12}{|x|}\) при \(x\neq0\); при \(x=0\) решений нет. Граница: \(y=\pm\frac{12}{x}\). Ответ: вне полосы между ветвями гипербол, без границ, ось \(x=0\) исключена.

9) \(|x|+|y|\le1\) — ромб с вершинами \((\pm1,0)\), \((0,\pm1)\). Ответ: внутренняя область ромба, включая границу.

10) \(|x|-|y|>1\) эквивалентно \(|x|>|y|+1\). Границы: прямые \(y=\pm(x-1)\) и \(y=\pm(x+1)\). Ответ: внешние области за этими линиями, без границ.

Для построения графиков неравенств я кратко опишу решение каждого из них с объяснением области, удовлетворяющей условию.

1. Для неравенства \( y < |x^2 — 4x| \): перепишем как \( y < |(x-2)^2 — 4| \). График функции \( y = |x^2 — 4x| \) — это парабола, сдвинутая вправо на 2 и преобразованная по модулю. Область решения — все точки под этой кривой, не включая саму кривую.

2. Для неравенства \( y > x^2 — 4|x| \): функция \( y = x^2 — 4|x| \) представляет параболу, опущенную вниз на 4 в зависимости от модуля \( x \). Решение — область над графиком, не включая границу.

3. Для неравенства \( y \leq |x^2 — 4|x| \): график функции \( y = |x^2 — 4|x| \) комбинирует параболу и модуль. Область решения — под кривой, включая саму кривую.

4. Для неравенства \( x^2 — 2|x| + y^2 \leq 0 \): перепишем как \( (x^2 — 2|x|) + y^2 \leq 0 \). Поскольку \( x^2 — 2|x| = (|x| — 1)^2 — 1 \geq -1 \), а \( y^2 \geq 0 \), сумма равна 0 только в точках \( (|x| = 1, y = 0) \). Решение — только точки \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).

5. Для неравенства \( x^2 — 2|x| + y^2 — 2|y| + 1 > 0 \): перепишем как \( (|x| — 1)^2 + (|y| — 1)^2 > 0 \). Сумма квадратов больше 0 всегда, кроме точки \( (|x| = 1, |y| = 1) \), но из-за строгого неравенства область — вся плоскость, кроме четырех точек \( (\pm1, \pm1) \).

6. Для неравенства \( |x|y > 3 \): перепишем как \( y > \frac{3}{|x|} \) (для \( y > 0 \)) и \( y < -\frac{3}{|x|} \) (для \( y < 0 \)). Область — над гиперболами в верхней полуплоскости и под гиперболами в нижней, без границы.

7. Для неравенства \( x|y| \leq 6 \): это \( |y| \leq \frac{6}{x} \) для \( x > 0 \) и \( |y| \geq \frac{6}{x} \) для \( x < 0 \), но корректнее рассматривать как полосу между гиперболами \( y = \pm\frac{6}{x} \) для \( x \neq 0 \). Область — между кривыми, включая границы.

8. Для неравенства \( |xy| > 12 \): перепишем как \( |y| > \frac{12}{|x|} \). Область — над гиперболами \( y = \pm\frac{12}{x} \) и под их зеркальными отражениями, без границы.

9. Для неравенства \( |x| + |y| \leq 1 \): это ромб с вершинами в \( (\pm1, 0) \) и \( (0, \pm1) \). Область решения — внутри ромба, включая границу.

10. Для неравенства \( |x| — |y| > 1 \): перепишем как \( |x| > |y| + 1 \). Область — вне полосы между прямыми \( y = x — 1 \), \( y = -x — 1 \), \( y = x + 1 \), \( y = -x + 1 \), без границы.