ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график неравенства: 1) \( y > x^2 — 4|x| + 3 \); 2) \( |y| < x^2 — 4x + 3 \); 3) \( |y| > x^2 — 4|x| + 3 \); 4) \( x^2 + y^2 — 4|x| — 4|y| + 7 = 0 \); 5) \( x|y| > 8 \); 6) \( |x| — 1 + |y| \leq 1 \).

Для \(y > x^2 — 4|x| + 3\): раскрываем модуль по областям. При \(x \ge 0\): \(y > x^2 — 4x + 3\). При \(x < 0\): \(y > x^2 + 4x + 3\). Граница — ломаная парабола \(y = x^2 — 4|x| + 3\). Область решения — строго выше этой кривой.

Для \(|y| < x^2 — 4x + 3\): проверяем правую часть на положительность. Вершина \(x=2\), минимальное значение \(y_{\min} = -1\), корни \(x=1,3\). Неравенство даёт полосу между \(y = x^2 — 4x + 3\) и \(y = -(x^2 — 4x + 3)\), но только там, где \(x^2 — 4x + 3 > 0\), то есть \(x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty)\). Область — между двумя параболами на этих промежутках.

Для \(|y| > x^2 — 4|x| + 3\): эквивалентно \(y > x^2 — 4|x| + 3\) или \(y < -(x^2 — 4|x| + 3)\). Строим \(y = x^2 — 4|x| + 3\) и \(y = -(x^2 — 4|x| + 3)\). Область — выше верхней кривой и ниже нижней, объединение двух внеполосных частей.

Для \(x^2 + y^2 — 4|x| — 4|y| + 7 = 0\): разбиваем плоскость на квадранты. В I квадранте: \((x-2)^2 + (y-2)^2 = 1\). Во II: \((x+2)^2 + (y-2)^2 = 1\). В III: \((x+2)^2 + (y+2)^2 = 1\). В IV: \((x-2)^2 + (y+2)^2 = 1\). График — четыре дуги окружностей радиуса \(1\) с центрами \((\pm 2,\pm 2)\), касающиеся осей в точках \((0,\pm 1)\), \((\pm 1,0)\).

Для \(x|y| > 8\): при \(x \ne 0\) получаем \(|y| > \frac{8}{|x|}\). Границы — гиперболы \(y = \frac{8}{x}\) и \(y = -\frac{8}{x}\). Область решения — выше \(y = \frac{8}{|x|}\) и ниже \(y = -\frac{8}{|x|}\) для всех \(x \ne 0\).

Для \(|x| — 1 + |y| \le 1\): приводим к \(|x| + |y| \le 2\). Это ромб с вершинами \((\pm 2,0)\), \((0,\pm 2)\). Область решения — весь ромб включая границу.

Построим графики неравенств с кратким решением и объяснением.

Для неравенства \( y > x^2 — 4|x| + 3 \): перепишем как \( y > (x^2 — 4|x| + 3) \), где правая часть — парабола, сдвинутая вниз. График параболы \( y = x^2 — 4|x| + 3 \) строится с учетом модуля, разбивая на области \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \). Область решения — выше этой кривой, штриховка над параболой.

Для неравенства \( |y| < x^2 — 4x + 3 \): перепишем как \( — (x^2 — 4x + 3) < y < x^2 — 4x + 3 \). График параболы \( y = x^2 — 4x + 3 \) определяет верхнюю границу, а \( y = -(x^2 — 4x + 3) \) — нижнюю. Область решения — между этими кривыми.

Для неравенства \( |y| > x^2 — 4|x| + 3 \): перепишем как \( y > x^2 — 4|x| + 3 \) или \( y < -(x^2 — 4|x| + 3) \). График строится на основе параболы с модулем, область решения — выше верхней и ниже нижней кривой.

Для уравнения \( x^2 + y^2 — 4|x| — 4|y| + 7 = 0 \): это окружность с учетом модулей. Разбиваем на квадранты, в каждом из которых модули раскрываются линейно. Например, при \( x \geq 0, y \geq 0 \): \( x^2 + y^2 — 4x — 4y + 7 = 0 \), что после приведения дает окружность. График — замкнутая кривая, составленная из дуг.

Для неравенства \( x|y| > 8 \): перепишем как \( |y| > \frac{8}{|x|} \) при \( x \neq 0 \). График гиперболы, область решения — вне кривых \( y = \frac{8}{x} \) и \( y = -\frac{8}{x} \), исключая ось \( x = 0 \).

Для неравенства \( |x| — 1 + |y| \leq 1 \): перепишем как \( |y| \leq 1 — |x| + 1 = 2 — |x| \). График — ромб с вершинами в точках \( (0, 2), (0, -2), (2, 0), (-2, 0) \), область решения — внутри этой фигуры.