ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график неравенства: 1) \( (x + y)^2 (x + y + 1) \leq 0 \); 2) \( (x + y + 1)(x — y)^2 < 0 \); 3) \( (x — y)|x| < 0 \); 4) \( |y| x^2 + 4y^2 — 4 < 0 \).

1) \( (x+y)^2(x+y+1)\le 0 \)

Разделим случаи: \( (x+y)^2\ge 0\). Чтобы произведение было \(\le 0\), нужно \(x+y+1\le 0\) либо \((x+y)^2=0\). Значит, решения: все точки с \(x+y\le -1\) и дополнительно прямая \(x+y=0\).

2) \( (x+y+1)(x-y)^2<0 \)

Так как \((x-y)^2\ge 0\), чтобы было \(<0\), необходимо \(x+y+1<0\) и \((x-y)^2\ne 0\). Следовательно, \(x+y<-1\) и \(x\ne y\).

3) \( (x-y)|x|<0 \)

Здесь \(|x|\ge 0\). Для отрицательного произведения нужно \(x\ne 0\) и \(x-y<0\). Следовательно, \(x<y\) и \(x\ne 0\).

4) \( |y|x^2+4y^2-4<0 \)

Имеем \(|y|x^2<4-4y^2\), откуда \(|y|<1\) и при \(y\ne 0\): \(x^2<\frac{4-4y^2}{|y|}=4\left(\frac{1}{|y|}-|y|\right)\). При \(y=0\) неравенство \(-4<0\) верно для любых \(x\). Итог: \(|y|<1\); для \(y\ne 0\): \(|x|<2\sqrt{\frac{1}{|y|}-|y|}\); для \(y=0\): любые \(x\).

Для построения графиков неравенств я кратко разберу каждое из них с объяснением области решений.

1. Неравенство \( (x + y)^2 (x + y + 1) \leq 0 \).

Поскольку \( (x + y)^2 \geq 0 \), произведение будет неположительным, если \( x + y + 1 \leq 0 \), то есть \( x + y \leq -1 \). Однако \( (x + y)^2 = 0 \) при \( x + y = 0 \) тоже удовлетворяет условию. Итог: область \( x + y \leq -1 \) и линия \( x + y = 0 \).

2. Неравенство \( (x + y + 1)(x — y)^2 < 0 \).

Так как \( (x — y)^2 \geq 0 \), произведение отрицательно, если \( x + y + 1 < 0 \), то есть \( x + y < -1 \). При \( x = y \) неравенство не выполняется (произведение равно 0). Итог: область \( x + y < -1 \), исключая линию \( x = y \).

3. Неравенство \( (x — y)|x| < 0 \).

Произведение отрицательно, если \( x — y \) и \( |x| \) имеют разные знаки. Поскольку \( |x| \geq 0 \), нужно \( x — y < 0 \), то есть \( x < y \). При \( x = 0 \) неравенство не выполняется. Итог: область \( x < y \) и \( x \neq 0 \).

4. Неравенство \( |y| x^2 + 4y^2 — 4 < 0 \).

Перепишем как \( x^2 |y| + 4y^2 < 4 \). Для \( y \geq 0 \) это \( x^2 y + 4y^2 < 4 \), а для \( y < 0 \) — \( -x^2 y + 4y^2 < 4 \). После анализа (деление на \( y^2 \) или подстановка) получаем эллипсоподобные области. Итог: область внутри кривой, зависящей от знака \( y \), ограниченной примерно \( x^2 < \frac{4 — 4y^2}{|y|} \).