ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) множеством решений неравенства \( 2|x + 1| + |a — 4| < 2 \) является промежуток вида \( [m; n] \), длина которого не меньше 1?

1) Так как \((x+y)^2\ge 0\), чтобы \((x+y)^2(x+y+1)\le 0\), достаточно \((x+y+1)\le 0\) или \((x+y)^2=0\). Следовательно, множество решений: \(x+y\le -1\) и дополнительно линия \(x+y=0\).

2) Поскольку \((x-y)^2\ge 0\), для \((x+y+1)(x-y)^2<0\) нужно \((x+y+1)<0\) и \((x-y)^2>0\), то есть \(x\ne y\). Итог: \(x+y<-1\) при \(x\ne y\).

3) Так как \(|x|\ge 0\), для \((x-y)|x|<0\) требуется \(|x|>0\) и \(x-y<0\), то есть \(x\ne 0\) и \(x<y\).

1) Рассмотрим произведение \((x+y)^{2}(x+y+1)\le 0\). Так как \((x+y)^{2}\ge 0\) для всех \(x,y\), знак всего произведения определяется множителем \((x+y+1)\) и возможным равенством \((x+y)^{2}=0\). Если \((x+y+1)<0\), то положительный или нулевой квадрат умножается на отрицательное и дает неположительный результат, следовательно, все точки с \(x+y<-1\) удовлетворяют неравенству. Если \((x+y+1)=0\), то произведение равно нулю независимо от значения квадрата, значит вся прямая \(x+y=-1\) входит в решение. Дополнительно случай \((x+y)^{2}=0\) означает \(x+y=0\); при этом произведение становится \(0\cdot(x+y+1)=0\), что также удовлетворяет условию. Итого решения включают все точки с \(x+y\le -1\) и отдельно всю прямую \(x+y=0\), которая добавляется как множество нулей квадрата и не пересекается с областями \(x+y<-1\), поэтому её нужно учитывать явно.

2) Для \((x+y+1)(x-y)^{2}<0\) квадрат \((x-y)^{2}\ge 0\) и обращается в ноль только при \(x=y\). Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы один множитель был отрицателен, а другой строго положителен. Поскольку квадрат не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, то есть \(x\ne y\). Тогда знак произведения определяется исключительно множителем \((x+y+1)\). Условие отрицательности даёт \((x+y+1)<0\), то есть \(x+y<-1\). Граница \((x+y+1)=0\) исключается, потому что тогда произведение равно нулю, а нам требуется строгий знак \(<0\). Точки с \(x=y\) также исключаются: при них квадрат обращается в ноль и независимо от знака \((x+y+1)\) произведение не может быть отрицательным. Следовательно, множество решений — вся полуплоскость \(x+y<-1\) за исключением диагонали \(x=y\), что геометрически означает открытую полуплоскость ниже линии \(x+y=-1\) без точек на прямой \(y=x\).

3) Для \((x-y)|x|<0\) модуль \(|x|\ge 0\) и равен нулю только при \(x=0\). Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы \(|x|>0\), то есть \(x\ne 0\), и одновременно другой множитель имел отрицательный знак. Знак множителя \((x-y)\) зависит от относительного положения \(x\) и \(y\): если \(x<y\), то \((x-y)<0\); если \(x>y\), то \((x-y)>0\); при \(x=y\) произведение равно нулю и не подходит. Поэтому условие строгости даёт \(x<y\) вместе с требованием \(x\ne 0\), чтобы исключить обнуление модуля. Графически это означает всю область строго ниже диагонали \(y=x\) без вертикальной оси \(x=0\), поскольку точки с \(x=0\) дают \(|x|=0\) и нарушают строгую отрицательность произведения.