ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \( a \), при которых множество решений неравенства \( (x^2 — a)(a — 2x — 8) > 0 \) не содержит ни одного решения неравенства \( x^2 < 4 \).

Для решения задачи нужно найти значения параметра \(a\), при которых множества решений неравенств \((x^2 — a)(a — 2x — 8) > 0\) и \(x^2 \leq 4\) не пересекаются.

Сначала рассмотрим второе неравенство \(x^2 \leq 4\). Его решение: \(x \in [-2, 2]\). Это фиксированное множество, не зависящее от \(a\).

Теперь разберем первое неравенство \((x^2 — a)(a — 2x — 8) > 0\). Оно зависит от \(a\), и его область решений определяется как объединение двух случаев: \(x^2 > a\) и \(a > 2x + 8\), либо \(x^2 < a\) и \(a < 2x + 8\). Эти условия задают области на плоскости \((x, a)\), ограниченные параболой \(a = x^2\) и прямой \(a = 2x + 8\).

Чтобы множества решений не пересекались, для всех \(x \in [-2, 2]\) первое неравенство не должно выполняться. Анализируя график, видим, что область решений первого неравенства в пределах \(x \in [-2, 2]\) лежит между \(a = 0\) и \(a = 12\). Таким образом, вне этого интервала, то есть при \(a \leq 0\) или \(a \geq 12\), пересечения с \([-2, 2]\) нет.

Ответ: \(a \in (-\infty, 0] \cup [12, +\infty)\).

1) Решения первого неравенства \((x^2 — a)(a — 2x — 8) > 0\):

Для решения неравенства \((x^2 — a)(a — 2x — 8) > 0\) необходимо определить, при каких значениях \(x\) и \(a\) произведение двух выражений положительно. Это происходит в двух случаях: оба множителя положительны или оба отрицательны. Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: \(x^2 — a > 0\) и \(a — 2x — 8 > 0\). Это эквивалентно \(a < x^2\) и \(a > 2x + 8\). Эти условия задают область на плоскости \((x, a)\), где \(a\) находится между прямой \(a = 2x + 8\) и параболой \(a = x^2\), но только в тех точках, где \(x^2 > 2x + 8\). Решая уравнение \(x^2 = 2x + 8\), получаем \(x^2 — 2x — 8 = 0\), корни которого \(x = -2\) и \(x = 4\). Таким образом, \(x^2 > 2x + 8\) при \(x < -2\) или \(x > 4\).

Второй случай: \(x^2 — a < 0\) и \(a — 2x — 8 < 0\), то есть \(a > x^2\) и \(a < 2x + 8\). Это область между параболой \(a = x^2\) и прямой \(a = 2x + 8\), где \(x^2 < 2x + 8\), то есть при \(x \in (-2, 4)\).

Таким образом, область решений первого неравенства представляет собой объединение двух частей: область под параболой \(a = x^2\) и над прямой \(a = 2x + 8\) для \(x < -2\) или \(x > 4\), и область над параболой \(a = x^2\) и под прямой \(a = 2x + 8\) для \(x \in (-2, 4)\).

2) График неравенства:

Для наглядности рассмотрим график на плоскости \((x, a)\). Парабола \(a = x^2\) открыта вверх, а прямая \(a = 2x + 8\) имеет наклон 2 и пересекает ось \(a\) в точке 8. Точки пересечения параболы и прямой находятся при \(x = -2\) (где \(a = 4\)) и \(x = 4\) (где \(a = 24\)). Область решений первого неравенства заштрихована в соответствии с условиями, описанными выше. На графике видно, что для \(x \in [-2, 2]\) область решений первого неравенства ограничена значениями \(a\) примерно от 0 до 12, что будет уточнено далее.

3) Решения второго неравенства:

Второе неравенство \(x^2 \leq 4\) эквивалентно \((x — 2)(x + 2) \leq 0\). Корни уравнения \(x^2 — 4 = 0\) равны \(x = -2\) и \(x = 2\). Произведение \((x — 2)(x + 2)\) отрицательно или равно нулю между корнями, то есть при \(x \in [-2, 2]\). Таким образом, множество решений второго неравенства — это отрезок \(x \in [-2, 2]\), и оно не зависит от параметра \(a\).

4) Условие непересечения множеств решений:

Множества решений не пересекаются, если не существует такого \(x \in [-2, 2]\), при котором выполняется первое неравенство \((x^2 — a)(a — 2x — 8) > 0\). Это означает, что для всех \(x \in [-2, 2]\) значение \(a\) должно находиться вне области решений первого неравенства. На графике видно, что для \(x \in [-2, 2]\) область решений первого неравенства ограничена снизу значением \(a = 0\) (при \(x = 0\), где \(a = 2x + 8 = 8\), но \(a = x^2 = 0\), и условие \(a > x^2\) дает \(a > 0\)) и сверху значением \(a = 12\) (при \(x = -2\), где \(a = 2x + 8 = 4\), и парабола \(a = x^2 = 4\), но проверка показывает, что максимум достигается около \(a = 12\) при других значениях).

Точнее, найдем максимальное и минимальное значения \(a\), при которых первое неравенство выполняется для \(x \in [-2, 2]\). При \(x = 0\): \(a > x^2 = 0\) и \(a < 2x + 8 = 8\), то есть \(a \in (0, 8)\). При \(x = 2\): \(a < x^2 = 4\) и \(a > 2x + 8 = 12\), что невозможно. При \(x = -2\): \(a < x^2 = 4\) и \(a > 2x + 8 = 4\), что также невозможно. Однако, проверяя промежуточные точки, видим, что область решений первого неравенства в пределах \(x \in [-2, 2]\) существует между \(a = 0\) и \(a = 12\).

Таким образом, если \(a \leq 0\), то для всех \(x \in [-2, 2]\) условие \(a < x^2\) не выполняется (так как \(x^2 \geq 0\)), и если \(a \geq 12\), то для всех \(x \in [-2, 2]\) условие \(a > 2x + 8\) также не выполняется (так как максимум \(2x + 8 = 12\) при \(x = 2\)). Следовательно, множества не пересекаются при \(a \leq 0\) или \(a \geq 12\).

Ответ: \(a \in (-\infty, 0] \cup [12, +\infty)\).