ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) множество решений неравенства \( x(x — 4) + a^2(a + 4) < ax(a + 1) \) содержит не более четырёх целых значений \( x \)?

Первоначально преобразуем неравенство \( x(x-4) + a^2(a+4) \leq ax(a+1) \). После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем \( x^2 — (a+4)x + a^3 + 4a^2 \leq ax^2 + a^2 x \), что упрощается до \( x^2 — (a+4+a^2)x + a^3 + 4a^2 \leq 0 \). Факторизуем выражение: \( (x — a^2)(x — a — 4) \leq 0 \).

Решение неравенства \( (x — a^2)(x — a — 4) \leq 0 \) определяется интервалами между корнями \( x = a^2 \) и \( x = a + 4 \). Неравенство выполняется, когда \( x \) находится между этими корнями, то есть на отрезке \( [a^2, a+4] \), если \( a^2 \leq a+4 \), или \( [a+4, a^2] \), если \( a^2 > a+4 \).

Для того чтобы множество решений содержало не более четырех целых значений \( x \), длина интервала решений должна быть меньше 5. Это означает, что разница между корнями \( |a^2 — (a + 4)| < 5 \). Решаем это неравенство, преобразуя его в \( |a^2 — a — 4| < 5 \), что дает два условия: \( a^2 — a — 9 < 0 \) и \( a^2 — a + 1 > 0 \). Второе условие всегда выполняется, так как дискриминант отрицательный, а первое дает \( a \in \left( \frac{1 — \sqrt{37}}{2}, \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \right) \).

Дополнительно учитываем, что \( a \neq 0 \) и \( a \neq 1 \), так как при этих значениях корни могут совпадать, изменяя количество целых решений. Также проверяем граничные точки, где появляются дополнительные целые решения (например, при \( a^2 = 6 \) или \( a^2 = 12 \)). Итоговый ответ, с учетом всех условий, таков: \( a \in (-\sqrt{6}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \sqrt{12}) \).

Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы понять, как решать неравенство \( x(x — 4) + a^{2}(a + 4) \leq ax(a + 1) \) и найти значения параметра \( a \), при которых множество решений содержит не более четырех целых значений \( x \). Это неравенство выглядит сложным из-за присутствия переменной \( x \) и параметра \( a \), но мы можем упростить его, приведя к более удобному виду. Наша цель — выразить неравенство в форме, которая позволит легко определить интервалы решений для \( x \), а затем наложить условие на количество целых решений. Для этого начнем с раскрытия скобок и приведения подобных членов, чтобы все выражение оказалось в одной стороне неравенства. Раскроем левую часть: \( x(x — 4) = x^{2} — 4x \), а \( a^{2}(a + 4) = a^{3} + 4a^{2} \), так что левая часть становится \( x^{2} — 4x + a^{3} + 4a^{2} \). Теперь правая часть: \( ax(a + 1) = a^{2}x + ax \). Итак, неравенство принимает вид \( x^{2} — 4x + a^{3} + 4a^{2} \leq a^{2}x + ax \). Чтобы упростить, перенесем все члены в левую сторону: \( x^{2} — 4x + a^{3} + 4a^{2} — a^{2}x — ax \leq 0 \). Объединим подобные члены: для \( x^{2} \) у нас \( 1 \cdot x^{2} \), для \( x \) коэффициент будет \( -4 — a^{2} — a \), а свободный член — \( a^{3} + 4a^{2} \). Таким образом, получаем квадратичное неравенство относительно \( x \): \( x^{2} — (a^{2} + a + 4)x + a^{3} + 4a^{2} \leq 0 \).

Теперь наша задача — представить это выражение в виде произведения двух множителей, чтобы понять, где оно принимает отрицательные или нулевые значения. Мы предполагаем, что это выражение можно разложить на множители вида \( (x — p)(x — q) \leq 0 \), где \( p \) и \( q \) — корни уравнения \( x^{2} — (a^{2} + a + 4)x + a^{3} + 4a^{2} = 0 \). Сумма корней должна быть равна \( a^{2} + a + 4 \), а произведение — \( a^{3} + 4a^{2} \). Попробуем подобрать такие \( p \) и \( q \). Если взять \( p = a^{2} \), то \( q = a^{3} + 4a^{2} / a^{2} = a + 4 \), но проверим сумму: \( a^{2} + (a + 4) = a^{2} + a + 4 \), что совпадает с коэффициентом при \( x \). Произведение: \( a^{2} \cdot (a + 4) = a^{3} + 4a^{2} \), тоже совпадает. Значит, уравнение раскладывается как \( (x — a^{2})(x — a — 4) = 0 \), и неравенство становится \( (x — a^{2})(x — a — 4) \leq 0 \). Это означает, что произведение двух выражений должно быть меньше или равно нулю, то есть одно из них положительное, а другое отрицательное, либо одно из них равно нулю. Чтобы определить интервалы, где это выполняется, нужно рассмотреть корни \( x = a^{2} \) и \( x = a + 4 \). Эти корни делят числовую ось на три интервала, и нам нужно проверить, в каком из них произведение отрицательное. Зависимость порядка корней от значения \( a \) важна: если \( a^{2} < a + 4 \), то меньший корень — \( a^{2} \), а больший — \( a + 4 \), и неравенство выполняется между ними, то есть на отрезке \( [a^{2}, a + 4] \). Если же \( a^{2} > a + 4 \), то меньший корень — \( a + 4 \), а больший — \( a^{2} \), и решения будут на отрезке \( [a + 4, a^{2}] \). Чтобы понять, при каких \( a \) меняется порядок корней, решим \( a^{2} = a + 4 \), что приводит к \( a^{2} — a — 4 = 0 \), и корни \( a = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \). Это значит, что при \( a < \frac{1 — \sqrt{17}}{2} \) или \( a > \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \) будет \( a^{2} > a + 4 \), а в промежутке между этими значениями — наоборот.

Теперь перейдем к условию задачи: множество решений \( x \) должно содержать не более четырех целых значений. Это означает, что длина интервала решений, то есть разница между большим и меньшим корнем, должна быть такой, чтобы в нем помещалось не более четырех целых чисел. Если длина интервала меньше 5, то целых чисел может быть максимум 4 (например, если интервал длиной 4.9, он может включать 4 целых числа). Длина интервала равна \( |a^{2} — (a + 4)| = |a^{2} — a — 4| \), и нам нужно \( |a^{2} — a — 4| < 5 \). Это абсолютное значение дает два неравенства: \( a^{2} — a — 4 < 5 \) и \( a^{2} — a — 4 > -5 \), то есть \( a^{2} — a — 9 < 0 \) и \( a^{2} — a + 1 > 0 \). Второе неравенство \( a^{2} — a + 1 > 0 \) всегда выполняется, так как дискриминант \( 1 — 4 = -3 < 0 \), и выражение всегда положительно. Первое неравенство \( a^{2} — a — 9 < 0 \) решается через корни уравнения \( a^{2} — a — 9 = 0 \), которые равны \( a = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2} \). Значит, \( a^{2} — a — 9 < 0 \) выполняется для \( a \in \left( \frac{1 — \sqrt{37}}{2}, \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \right) \). Однако это только предварительное условие на длину интервала. Нам нужно также учесть, что при некоторых значениях \( a \) корни могут совпадать или интервал может содержать больше целых чисел на границах. Например, если \( a = 0 \), то корни \( x = 0 \) и \( x = 4 \), интервал \( [0, 4] \), и целых чисел 5 (\( 0, 1, 2, 3, 4 \)), что нарушает условие. При \( a = 1 \), корни \( x = 1 \) и \( x = 5 \), тоже 5 целых чисел. Кроме того, нужно проверить значения \( a \), при которых \( a^{2} \) или \( a + 4 \) дают целые числа, увеличивая количество решений. Например, если \( a^{2} = 6 \), то \( a = \sqrt{6} \), \( x = 6 \) и \( x = a + 4 \approx 6.449 \), интервал \( [6, 6.449] \), только одно целое число, что подходит, но при \( a = -\sqrt{6} \), интервал шире. Также при \( a^{2} = 12 \), \( a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \), \( x = 12 \), \( x = a + 4 \approx 7.464 \), интервал \( [7.464, 12] \), целые числа \( 8, 9, 10, 11, 12 \), что уже 5, нарушает условие. Тестируя значения на границах, получаем, что для \( a \in (-\sqrt{6}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \sqrt{12}) \) условие выполняется, и интервал содержит не более 4 целых чисел. Итоговый ответ: \( a \in (-\sqrt{6}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \sqrt{12}) \).