ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех натуральных значениях \( n \) значение выражения \( 11 \cdot 3^{2n} + 10 — 2^n \) кратно 7.

Для доказательства того, что выражение \(11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^n\) кратно 7 при любом \(n \in \mathbb{N}\), преобразуем его.

Сначала запишем выражение как \(N = 11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^n = 11 \cdot 9^n + 10 \cdot 2^n\). Теперь выразим \(9^n\) через разность: \(9^n = (9 — 2) \cdot (9^{n-1} + 9^{n-2} \cdot 2 + \dots + 9 \cdot 2^{n-2} + 2^{n-1}) + 2^n\), то есть \(9^n — 2^n = 7 \cdot k\), где \(k = 9^{n-1} + 9^{n-2} \cdot 2 + \dots + 9 \cdot 2^{n-2} + 2^{n-1}\).

Подставим это в \(N\): \(N = 11 \cdot (9^n — 2^n + 2^n) + 10 \cdot 2^n = 11 \cdot (7 \cdot k + 2^n) + 10 \cdot 2^n = 11 \cdot 7 \cdot k +\)
\(+ 11 \cdot 2^n + 10 \cdot 2^n = 7 \cdot (11 \cdot k) + 21 \cdot 2^n\).

Так как \(21 = 3 \cdot 7\), то \(21 \cdot 2^n = 7 \cdot 3 \cdot 2^n\), и итоговое выражение \(N = 7 \cdot (11 \cdot k + 3 \cdot 2^n)\), что показывает кратность 7.

Таким образом, \(N\) делится на 7 при любом \(n\).

1. Нам нужно доказать, что при любом \(n \in \mathbb{N}\) значение выражения \(11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^{n}\) кратно 7. Это означает, что результат деления данного выражения на 7 должен быть целым числом без остатка.

2. Для удобства обозначим выражение как \(N = 11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^{n}\). Заметим, что \(3^{2n} = (3^2)^n = 9^n\), так что выражение можно переписать в виде \(N = 11 \cdot 9^{n} + 10 \cdot 2^{n}\). Наша цель — показать, что \(N\) делится на 7.

3. Рассмотрим разность \(9^{n} — 2^{n}\). Мы знаем, что \(9 — 2 = 7\), и это наводит на мысль о возможности факторизации. Действительно, разность степеней можно представить как \(9^{n} — 2^{n} = (9 — 2) \cdot (9^{n-1} + 9^{n-2} \cdot 2 + 9^{n-3} \cdot 2^{2} + \dots + 9 \cdot 2^{n-2} + 2^{n-1})\). Таким образом, \(9^{n} — 2^{n} = 7 \cdot (9^{n-1} + 9^{n-2} \cdot 2 + \dots + 9 \cdot 2^{n-2} + 2^{n-1})\).

4. Теперь подставим это обратно в наше выражение. Перепишем \(9^{n}\) как \(9^{n} = (9^{n} — 2^{n}) + 2^{n}\). Тогда \(N = 11 \cdot (9^{n} — 2^{n} + 2^{n}) + 10 \cdot 2^{n} = 11 \cdot (9^{n} — 2^{n}) + 11 \cdot 2^{n} + 10 \cdot 2^{n}\).

5. Учитывая, что \(9^{n} — 2^{n} = 7 \cdot k\), где \(k = 9^{n-1} + 9^{n-2} \cdot 2 + \dots + 9 \cdot 2^{n-2} + 2^{n-1}\), получаем \(N = 11 \cdot (7 \cdot k) + 11 \cdot 2^{n} + 10 \cdot 2^{n} = 77 \cdot k + 21 \cdot 2^{n}\).

6. Обратим внимание на коэффициенты: \(77 = 7 \cdot 11\), а \(21 = 7 \cdot 3\). Следовательно, \(N = 7 \cdot 11 \cdot k + 7 \cdot 3 \cdot 2^{n} = 7 \cdot (11 \cdot k + 3 \cdot 2^{n})\). Мы видим, что 7 является общим множителем всего выражения.

7. Поскольку \(k\) — это сумма целых чисел, а \(2^{n}\) также целое число, выражение в скобках \(11 \cdot k + 3 \cdot 2^{n}\) является целым числом. Таким образом, \(N\) представлено как произведение 7 на целое число, что означает, что \(N\) кратно 7.

8. Мы доказали, что для любого натурального числа \(n\) выражение \(N = 11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^{n}\) делится на 7 без остатка. Это подтверждается алгебраическим преобразованием, которое не зависит от конкретного значения \(n\).

9. Для проверки можно подставить несколько значений \(n\). Например, при \(n = 1\): \(N = 11 \cdot 3^{2} + 10 \cdot 2^{1} = 11 \cdot 9 + 10 \cdot 2 = 99 + 20 = 119\), и \(119 \div 7 = 17\), что является целым числом.

10. Аналогично, для \(n = 2\): \(N = 11 \cdot 3^{4} + 10 \cdot 2^{2} = 11 \cdot 81 + 10 \cdot 4 = 891 + 40 = 931\), и \(931 \div 7 = 133\), что также целое число. Это подтверждает наше доказательство на конкретных примерах.