ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 15.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех целых \( n \) значение выражения \( (n — 2)(n — 1)n(n + 1) + 1 \) является квадратом целого числа.

Первое, что нужно сделать, — это упростить выражение \( N = n^4 — 2n^3 — n^2 + 2n + 1 \). Попробуем представить его в виде квадрата некоторого выражения.

Перегруппируем слагаемые: \( N = n^4 — 2n^3 + n^2 — 2n^2 + 2n + 1 \). Заметим, что \( n^4 — 2n^3 + n^2 = (n^2 — n)^2 \), так как \( (n^2 — n)^2 = n^4 — 2n^3 + n^2 \).

Теперь выражение принимает вид: \( N = (n^2 — n)^2 — 2n^2 + 2n + 1 \). Сгруппируем оставшиеся члены: \( -2n^2 + 2n + 1 = -(2n^2 — 2n — 1) \). Однако проще заметить, что \( N = (n^2 — n)^2 — 2n(n — 1) + 1 \), поскольку \( -2n^2 + 2n = -2n(n — 1) \).

Итак, \( N = (n^2 — n)^2 — 2n(n — 1) + 1 \). Это можно записать как \( N = [(n^2 — n) — 1]^2 \), потому что при раскрытии \( [(n^2 — n) — 1]^2 = (n^2 — n)^2 — 2(n^2 — n) + 1 = (n^2 — n)^2 — 2n^2 + 2n + 1 \), что совпадает с нашим выражением.

Таким образом, \( N = [(n^2 — n) — 1]^2 = (n^2 — n — 1)^2 \), что является квадратом целого числа для любого целого \( n \). Это и требовалось доказать.

1. Нам необходимо доказать, что выражение \( N = n^4 — 2n^3 — n^2 + 2n + 1 \) является квадратом целого числа для всех целых значений \( n \). Для этого мы должны представить данное выражение в виде квадрата некоторого многочлена с целыми коэффициентами.

2. Начнем с анализа выражения \( N = n^4 — 2n^3 — n^2 + 2n + 1 \). Поскольку мы предполагаем, что это квадрат, то, скорее всего, оно может быть представлено как \( (n^2 + an + b)^2 \), так как старший член \( n^4 \) соответствует квадрату \( n^2 \). Давайте попробуем подобрать коэффициенты \( a \) и \( b \), чтобы получить исходное выражение.

3. Раскроем квадрат \( (n^2 + an + b)^2 \). Это дает \( n^4 + 2an^3 + (a^2 + 2b)n^2 + 2abn + b^2 \). Теперь сравним это с нашим выражением \( n^4 — 2n^3 — n^2 + 2n + 1 \). Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях \( n \), получаем систему уравнений.

4. Для \( n^3 \): коэффициент в нашем выражении равен \(-2\), а в разложении он равен \( 2a \). Таким образом, \( 2a = -2 \), откуда \( a = -1 \).

5. Для \( n^2 \): коэффициент в выражении равен \(-1\), а в разложении он равен \( a^2 + 2b \). Подставим \( a = -1 \): \( (-1)^2 + 2b = 1 + 2b = -1 \), откуда \( 2b = -2 \), то есть \( b = -1 \).

6. Для \( n \): коэффициент в выражении равен \( 2 \), а в разложении он равен \( 2ab \). Подставим \( a = -1 \) и \( b = -1 \): \( 2*(-1)*(-1) = 2 \), что совпадает.

7. Для свободного члена: в выражении он равен \( 1 \), а в разложении он равен \( b^2 \). Подставим \( b = -1 \): \( (-1)^2 = 1 \), что также совпадает.

8. Таким образом, мы нашли, что \( N = (n^2 — n — 1)^2 \). Проверим это, раскрыв квадрат: \( (n^2 — n — 1)^2 = n^4 — 2n^3 + n^2 — 2n^2 + 2n — 1 + 1 = n^4 — 2n^3 — n^2 + 2n + 1 \), что в точности совпадает с исходным выражением.

9. Поскольку \( n^2 — n — 1 \) является целым числом для любого целого \( n \), то его квадрат \( (n^2 — n — 1)^2 \) также является квадратом целого числа.

10. Следовательно, мы доказали, что выражение \( N = n^4 — 2n^3 — n^2 + 2n + 1 \) всегда является квадратом целого числа для всех целых \( n \), как и требовалось показать.